Chap1 绪论
流体的连续介质模型
分子平均自由程：一个气体分子在随机运动过程中两次碰撞之间所走过的距离的平均值
努森数：判断连续介质假设的适用范围的无量纲参数
\[Kn=\frac{\lambda}{L}\]
其中 \(L\) 为特征长度，\(\lambda\) 为分子平均自由程
当 \(Kn\ll 1\) 时，认为连续介质假设成立
Note
介质性质为 (x,t) 的连续函数，且可以微分多次；引入流体质点概念后，又可描述为，流体是由连续分布的流体质点组成，流动空间中每一点都被相应的流体质点占据
流体的基本物理量
密度
密度：单位体积具有的质量
平均密度：\(\bar{\rho}=\frac{\Delta m}{\Delta V}\)
点密度：\(\rho=\lim_{\Delta V\rightarrow 0}\frac{\Delta m}{\Delta V}=\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}V}\)
比体积：\(v=\frac{1}{\rho}\)
压强
压强：作用在单位面积上的正压力，来源于气体分子在单位时间在该面上发生的动量变化
\[p=\lim_{A\rightarrow 0}\frac{force}{A}\]
温度
温度：分子（原子）作无序的微观运动的平均动能的度量
\[\frac{3}{2}kT=<\frac{1}{2}mv^2>\]
理想气体
理想气体假设
-
原子或者分子间为完全弹性碰撞
-
不考虑分子（原子）间的相互吸引力
-
忽略分子（原子）的实际体积
状态方程
\[f(p,\rho,T)=0\]
对于理想气体
\[p=\frac{2N}{3V}<\frac{1}{2}mv^2>\]
\[p=\rho\frac{R_0}{M}T=\rho RT\]
流体的性质
流动性
流动性 / 易变形性：处于静止状态的流体不能抵抗剪切力，流体在很小的剪切力作用下将发生连续不断的变形
流动性是流体与固体的主要区别标志
压缩性
可压缩性：流体在外力（主要是压力）作用下，其体积或密度发生变化的性质，也称为弹性
弹性模量：压力增量对气体单位比体积增量之比
\[E=\frac{\mathrm{d}p}{-\mathrm{d}V/V}=\rho\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}\rho}=\frac{1}{\beta}\]
热膨胀性
热膨胀性：流体的体积或密度随温度改变的性质
在一般的有状态方程
\[\rho=f(p,T)\]
\[\mathrm{d}\rho=\frac{\partial \rho}{\partial p}\mathrm{d}p+\frac{\partial \rho}{\partial T}\mathrm{d}T=\underbrace{\frac{\rho}{E}\mathrm{d} p}_{\text{ 可压缩性 }}- \underbrace{\rho \beta \mathrm{d}T}_{\text{ 热膨胀性 }}\]
热膨胀系数：
\[\beta=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial \rho}{\partial T}=\frac{1}{v}\frac{\partial v}{\partial T}\]
粘性
粘性：流体运动时，流体内部具有抵抗剪切变形的特性，以内摩擦力的形式抵抗流层之间的相对运动
粘性还表现在对固体表面的黏附作用，分子的内聚力将流体黏附在固体表面上，随固体一起运动或静止，称为流体在固体表面的无滑移条件
牛顿内摩擦定律
牛顿切应力公式
考虑两块平行放置的平板，平板间充满均匀粘性流体，下板固定，上板以恒速 U 平行运动
- 两板之间的流体流动速度呈线性分布
\[u(y)=\frac{y}{h}U\]
- 切应力与速度呈正比，与两板间距离呈反比
\[\tau=\mu\frac{U}{h}\]
- 推广到任意层流直线运动，取 dy 薄层
\[\tau=\mu\frac{u+du-u}{dy}=\mu\frac{du}{dy}\]
上式称为牛顿粘性切应力公式
其中，\(\tau\) 为单位面积上的粘性摩擦力，称为粘性切应力；\(\mu\) 为（动力）粘度，或称为（动力）粘性系数
\[v=\frac{\mu}{\rho}\]
称为运动粘度
牛顿粘性应力公式给出切应力与速度梯度（剪切应变率）的线性关系，满足此关系的流体称为牛顿流体
粘度
对于气体，粘度随温度升高而增大。气体粘性力主要由于分子热运动导致相邻气体层之间的质量和动量交换，对于理想气体
\[\mu=\frac{1}{2}\rho \bar{u}\lambda, \bar{u}=\sqrt{<u^2>}\]
萨特兰公式
\[\frac{\mu}{\mu_0}=(\frac{T}{T_0})^{1.5}(\frac{T_0+C}{T+C})\]
\(\mu_0\) 为 \(T=T_0=288.15K\) 时的值，C=110.4K
幂次公式
\[\frac{\mu}{\mu_0}=(\frac{T}{T_0})^n\]
\(90K<T<300K\)，\(n=\frac{8}{9}\)；\(400K<T<500K\)，\(n=\frac{3}{4}\)
对于液体，粘度随温度升高而减小。液体粘性力除了和分子热运动有关，还与分子间作用力有关
传热性
传热性：当气体沿某一方向存在温度梯度时，热量会从温度高的地方传向温度低的方向
傅里叶导热定律
热流密度：
\[q=-k\nabla T\]
温度梯度：
\[\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\bm{i}+\frac{\partial T}{\partial y}\bm{j}+\frac{\partial T}{\partial z}\bm{k}\]
其中，k 为热传导系数；气体热传导系数随温度升高而增大
扩散性
扩散现象：物质分子从高浓度区域向低浓度区域转移，直到均匀分布的现象。扩散速率与物质的浓度梯度成正比。分子热运动造成。
菲克定律
物质扩散通量
\[\bm{J}=-D\nabla C\]
\[\nabla C=\frac{\partial C}{\partial x}\bm{i}+\frac{\partial C}{\partial y}\bm{j}+\frac{\partial C}{\partial z}\bm{k}\]
D 为物质扩散系数，C 为物质的体积浓度
作用在流体微团上的力
体积力（质量力）
体积力：由外力场作用在流体微团质量中心、大小与微团质量成正比的非接触力
表面力
表面力：由物体或相邻流体作用在流体微团的外表面上的、大小与微团表面积成正比的接触力
流体内一点处的压强
采用连续介质假设
\[p_A=\lim_{\Delta S \rightarrow 0}\frac{\Delta F_n}{\Delta S}=\frac{\mathrm{d}F_n}{\mathrm{d}S}\]
应力张量
流体静力学
流体静力学的基本方程——欧拉静平衡方程
静平衡方程
\[\nabla p=\rho \bm{f}\]
静压力差公式
\[\mathrm{d}p=\rho(f_x \mathrm{d}x+f_y\mathrm{d}y+f_z \mathrm{d}z)\]
引入彻体力势函数
\[f_x=-\frac{\partial \Pi}{\partial x},f_y=\frac{\partial \Pi}{\partial y},f_z=-\frac{\partial \Pi}{\partial z}\]
欧拉静平衡方程又可写为
\[\mathrm{d}p=-\rho d\Pi\]
积分式为
\[p=-\rho \mathcal{\Pi}+C\]
\[p=p_0-\rho(\Pi-\Pi_0)\]
非惯性系的静平衡方程
\[\nabla p=\rho \bm{f}=\rho(\bm{f}_g+\bm{f}_a)\]
国际标准大气
不可压流体 / 流动与可压缩流体 / 流动
低速流动又称不可压流动，高速流动又称可压缩流动
采用马赫数划分流动范围的物理内涵
马赫数：飞行速度与声速之比
\[Ma=\frac{V}{a}\]
Ma<0.3 为低速（不可压）流动，Ma>0.3 为高速（可压缩）流动
完全气体的热力学特性
完全气体状态方程
\[p=\rho\frac{\bar{\mathcal{R}}}{\mathcal{M}_r}T=\rho RT\]
对于极高压或低温，完全气体假设不成立
气体的内能
气体内能是分子热运动的能量、分子间相互作用的能量和分子内部能量的总和；分子热运动的能量，包括分子的平动能、转动能、振动能和电子激发能
平动能
\[e_{tr}=\frac{3}{2}RT\]
转动能
\[e_{rot}=RT\]
振动能
\[e_{vib}=\frac{R\mathcal{\Theta}_v}{e^{\frac{\mathcal{\Theta}_v}{T}}-1}\]
对于双原子气体，忽略电子激发能，称为量热完全气体
\[e=e_{tr}+e_{rot}+e_{vib}\]
在 \(T\ll \Theta_v\)，可忽略振动能
\[e=\frac{5}{2}RT\]
对于单原子气体，不计分子的振动和转动
\[e=\frac{3}{2}RT\]
热力学第一定律、焓和比热容
热力学第一定律
\[\delta q+\delta w=\rm{d}e\]
对于准静态无摩擦这样的可逆过程，外界对系统做功就是压力做功，为
\[\delta w=-p\rm{d} (\frac{1}{\rho})\]
则
\[\delta q=de+p\rm{d}(\frac{1}{\rho})\]
引入焓
\[h=e+\frac{p}{\rho}\]
则
\[\delta q=\rm{d}h-\frac{1}{\rho} \rm{d} p\]
热力学第二定律和熵
考虑熵
\[\rm{d}s=\frac{\delta q_{rev}}{T}\]
热力学第二定律
\[\rm{d}s \ge \frac{\delta q}{T}\]
对于绝热过程
\[ds\gg 0\]
Note
\[T\rm{d}s=de+pd(\frac{1}{\rho})\]
\[T \rm{d}s=dh -\frac{1}{\rho}dp\]
等熵关系式
\[\frac{p_2}{p_1}=(\frac{\rho_2}{\rho_1})^{\gamma}=(\frac{T_2}{T_1})^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}\]
声速
声波：对弹性介质施加扰动，在介质中引起微小的应力增量，并以波的形式传播
声速，扰动波的传播速度
\[a=\sqrt{\frac{E_s}{\rho}}\]
其中，\(E_s\) 为等熵过程的体积弹性模量
对于热完全气体，可导出
\[a=\sqrt{\gamma RT}\]
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