Chap13 斜激波 ¶
小扰动的传播及马赫锥 ¶
斜激波流动特性变化量
法向马赫数关系
\[M_{n,2}^{2} = \frac{1 + [(\gamma - 1)/2]M_{n,1}^{2}}{\gamma M_{n,1}^{2} - (\gamma - 1)/2}\]
密度关系
\[\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{(\gamma + 1)M_{n,1}^2}{2 + (\gamma - 1)M_{n,1}^2}\]
压力关系
\[\frac{p_{2}}{p_{1}} = 1 + \frac{2\gamma}{\gamma + 1} (M_{n,1}^{2} - 1)\]
温度关系
\[\frac{T_2}{T_1}=\frac{p_2}{p_1}\frac{\rho_1}{\rho_2}\]
热力学第二定律要求：
\[\sin^{-1}(1/M_1)\le \beta \le \pi/2\]
波后马赫数可能小于 1，也可以大于 1
激波角
\[\tan \theta = 2 \cot \beta \frac{M_{1}^{2} \sin^{2} \beta - 1}{M_{1}^{2} (\gamma + \cos 2\beta) + 2}\]
\[\sin^{6} \beta + a_{1} \sin^{4} \beta + a_{2} \sin^{2} \beta + a_{3} = 0\]
斜激波关系式 ¶
流过尖楔和圆锥的超音速流 ¶
激波是一个耗散的，产生阻力的机制。这种情况下产生的阻力被称为波阻
激波干扰与反射 ¶
\(\theta >\theta^D\) 是马赫反射产生的充分条件
钝头体前的脱体激波 ¶
亚音速区与超音速区的分界线被称为音速线
六种典型的激波干扰类型 ¶
普朗特 - 梅耶膨胀波 ¶
膨胀过程是一个等熵过程
\[\mathrm{d}\theta =\sqrt{M^2-1}\frac{\mathrm{d}V}{V}\]
上式是一个精确描述膨胀波内部变化的微分方程
Prandel-Meyel 函数
\[\nu(M) = \sqrt{\frac{\gamma + 1}{\gamma - 1}} \tan^{-1} \sqrt{\frac{\gamma - 1}{\gamma + 1}(M^{2} - 1)} - \tan^{-1} \sqrt{M^{2} - 1}\]
求解步骤
- 对于给定 \(M_1\)，由附录查得 \(v(M_1)\)
- 由 \(v(M_2)=v(M_1)+\theta\)，计算 \(v(M_2)\)
- 查附录得到 \(M_2\)
- 膨胀波是等熵的，因此 \(p_0\) 和 \(T_0\) 通过膨胀波保持不变，即 \(T_{0,1}=T_{0,2}\)，\(p_{0,1}=p_{0,2}\)
激波 - 膨胀波理论及其对超音速翼型的应用 ¶
只要翼型是由直线段组成的，且流动偏转角足够小能保证没有脱体激波出现，那么绕翼型的超音速流动就是由一系列斜激波、膨胀波组成的，因此，我们可以应用激波 - 膨胀波理论精确地求解翼型表面的压力分布进而翼型的升力和阻力
最大偏转角 ¶
当 \(M_1=1\)，\(M_2=\text{inf}\) 时，气流的最大偏转角为：
\[\nu_{\infty} = \frac{\pi}{2} \left( \sqrt{\frac{\gamma + 1}{\gamma - 1}} - 1 \right)\]
如果此时壁面转角大于气流的最大偏转角，在最大偏转角之外的区域会出现涡街。
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