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Chap14 准一维流动理论

准一维流的控制方程

控制方程

连续方程

\[\rho_1u_1A_1=\rho_2u_2A_2\]

动量方程

\[p_1A_1+\rho_1u_1^2A_1+\int_{A_1}^{A_2}p\mathrm{d}A=p_2A_2+\rho_2u_2^2A_2\]

能量方程

\[h_1+\frac{u_1^2}{2}=h_2+\frac{u_2^2}{2}\]

准一维流动控制方程微分形式

\[\mathrm{d}(\rho uA)=0\]
\[\mathrm{d}p=-\rho u \mathrm{d}u\]
\[\mathrm{d}h+u\mathrm{d}u=0\]

注意

准一维流动和真正一维流动的区别 真正一维流动连续方程为：

\[\mathrm{d}(\rho u)=0\]

面积速度关系式

\[\frac{\mathrm{d}A}{A}=(M^2-1)\frac{\mathrm{d}u}{u}\]
  • 要使亚音速流加速（减速），必须使流管面积减少（增加）
  • 要使超音速流加速（减速），必须使流管面积增加（减少）
  • 音速流动只能出现在喉道或最小流管面积处

等熵流动

过管道的完全气体等熵流动由下式决定

\[(\frac{A}{A^*})^2=\frac{1}{M^2}[(\frac{2}{\gamma+1})(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2)]^{(\gamma+1)/(\gamma-1)}\]

对于给定的收缩 - 扩张管道，只存在一种可能的等熵超音速流动；相反，存在无数多种亚音速等熵解，每一种解对应不同的入口出口压力比，

在超音速风洞中，第二喉道与第一喉道的比可由下式决定

\[\frac{A_{t,2}}{A_{t,1}}=\frac{p_{0,1}}{p_{0,2}}\]

如果 \(A_{t,2}\) 低于此值，扩压段将发生壅塞，风洞不能启动

准一维流动的面积 - 马赫数关系式

扩压器

超音速风洞

Fanno 流动，摩擦管流

考虑摩擦情况下的管道流动，假设： 1. 没有质量增加 2. 没有传质 3. 管道截面积不变

控制方程组

\[\frac{2 f}{D_{H}} dx + \frac{1}{\gamma Ma^{2}} \frac{dp}{p} + \frac{du}{u} = 0\]

连续性方程

\[\frac{d \rho}{\rho} + \frac{du}{u} = 0\]

能量方程

\[\frac{dT}{T} + (\gamma - 1) Ma^{2} \frac{du}{u} = 0\]

状态方程

\[\frac{dp}{p} = \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dT}{T}\]
\[\left[ \frac{1 - Ma^2}{\gamma Ma^2} + \frac{\gamma + 1}{2 \gamma} \ln \frac{(\gamma + 1)Ma^2}{2 \left(1 + \frac{\gamma - 1}{2} Ma^2\right)} \right]_{Ma_e}^{Ma_i} = \frac{4 \bar{f} L_{\mathrm{max}}}{D_H}\]
\[M_{2}^{2} = \frac{(\gamma - 1) M_{1}^{2} + 2}{2 \gamma M_{1}^{2} - (\gamma - 1)}\]

方程化简为：

\[\frac{2\gamma}{\gamma + 1} \frac{4 \bar{f} L_{\mathrm{max}}}{D_H} = X(\lambda_i) - X(\lambda_e)\]

结论

    • 加速到临界截面，对应的管长 Lmax，显然有 X(1)=0，则：

      \[\frac{2\gamma}{\gamma + 1} \frac{4 \bar{f}L_{\mathrm{max}}}{D_{H}} = X(\lambda_{i})\]

    对于亚声速流动：

    • 对应的管长 Lmax，是气流顺利流动的最大长度。超过这个长度，气流无法顺利流出管道，此现象称为摩擦壅塞
    • 对亚声速流动，Lmax 是入口马赫数的减函数。入口马赫数越高，最大管长越短
    • 出现壅塞时，扰动会传播到入口处，迫使气流发生溢流，减小流量，减小马赫数，从而使得最大管长等于实际管长

  • 对于超声速流动：

    • 当马赫数趋于无穷大时，出口为声速，则：

      \[\lim_{Ma \to \infty} \frac{4 \bar{f} L_{\max}}{D_H} = -\frac{1}{\gamma} + \frac{\gamma + 1}{2\gamma} \ln \frac{\gamma + 1}{\gamma - 1}\]

    • 对于超声速流动，发生壅塞时，扰动无法向上游传播，只有通过管内的激波调整流动，使得出口为声速，则：

Rayleigh 流动，增能管流

考虑加热情况下的管道流动，假设：

  1. 没有摩擦
  2. 加热不引起太大的温度变化，只考虑总温的变化
  3. 管道截面积不变

控制方程组

连续性方程

\[\frac{\mathrm{d}\rho}{\rho}+\frac{\mathrm{d}u}{u}=0\]

状态方程

\[\frac{\mathrm{d}p}{p}=\frac{\mathrm{d}\rho}{\rho}+\frac{\mathrm{d}T}{T}\]
\[\frac{dT_0}{T} = \frac{dT}{T} + (\gamma - 1)Ma^2 \frac{du}{u}\]

结论

  1. 对于亚声速流动：加热量超过最大加热量，将出现壅塞时，扰动会传播到入口处，迫使气流发生溢流，减小流量，减小马赫数

  2. 对于超声速流动：加热量超过最大加热量，发生壅塞时，扰动无法向上游传播，会在管内出现激波，使得波后马赫数降低，激波下游允许的最大热量增加

  3. 于此类由热导致的壅塞现象，称为热壅塞

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