Chap2 流体力学基本方程
引言
基本控制方程
连续方程、动量方程、能量方程
- 能量方程对于可压缩流才是必要的
- 能量方程额外引入两个变量：内能 e、温度 T，额外需要两个辅助方程
\(e=C_vT\) (热力学状态关系式)
\(p=\rho RT\)（理想气体状态方程）
- 无粘流体的动量方程，称为 Euler 方程；粘性流动的动量方程，称为 N-S 方程
动力学任务与基本原则
系统（流体微团）与控制体（微元体）
系统（流体微团）
定义：某个有确定质量的流体团。系统以外的一切，统称为外界。无限小的流体系统称为流体微团。随体观点模型，对应拉格朗日方法。
特点：系统体积和界面积随流体流动而随时变化；系统界面上，只有能量交换，没有质量交换；系统边界上，系统受到外界对其作用的表面力。
控制体（微元体）
定义：流体空间一个固定的控制面所包围的区域。无限小的流体控制点称为微元体。当地观点模型，对应欧拉方法。
特点：控制体的体积和界面积是固定不变的；在控制体的界面上，既有能量交换，又有质量交换；在控制体的界面上，控制体内流体受到控制体以外的流体对其作用的表面力。
积分形式和微分形式的基本方程
雷诺输送定理
质量方程
连续方程
质量守恒定律
控制面流出质量 = 控制体减少质量
积分形式
\[\frac{\partial }{\partial t}\oiiint \rho dV+\oiint_S \rho V \cdot dS=0\]
微分形式
\[\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot(\rho V)=0\]
实质导数形式
\[\frac{D \rho}{D t}+\rho \nabla\cdot V=0\]
质量流量：单位时间内流过面积 A 的质量
\[\dot{m}=\rho V \cdot dS=\rho V_n A\]
质量通量：单位时间内通过单位面积的质量
\[Mass flux=\frac{\dot{m}}{A}=\rho V_n\]
微分形式的质量方程（连续方程）
积分形式的质量方程
运动微分方程
应力形式的运动微分方程
牛顿流体的应力与应变率关系
纳维 - 斯托克斯方程
积分形式的动量方程
动量方程
积分形式
\[\frac{\partial}{\partial t}\oiiint_V \rho V \cdot dV+\oiint_S(\rho V \cdot dS)V=\oiiint_V \rho f \cdot dV-\oiint_S pdS+F_{viscous}\]
微分形式
\[\frac{\partial (\rho u)}{\partial t}+\nabla \cdot (\rho u V)=\rho f_x-\frac{\partial p}{\partial x}+F_{x_{viscous}}\]
实质导数形式
\[\rho \frac{Du}{Dt}=\rho f_x-\frac{\partial p}{\partial x}+F_{x_{viscous}}\]
\(\rho f\cdot dV\) 控制体微元 dV 所受体积力
\(-pdS\) 控制面微元 dS 所受表面压力
\(F_{viscous}\) 控制面 S 所受粘性力
对如图控制体假设，在定常无粘不可压缩流动中
\[D=\rho \int_{h}^b u_2(u_1-u_2)dy\]
积分形式动量方程的推导
积分形式动量方程的应用
积分形式的动量矩方程及应用
理想流体的欧拉方程及其积分
理想流体的欧拉方程
兰姆 - 葛罗米柯方程
欧拉方程的积分
应用举例
理想流体的旋涡定理
亥姆霍兹方程
开尔文环量守恒定理
亥姆霍兹旋涡定理
理想流体的能量方程
能量方程
方程原理：热力学第一定律
积分形式
\[\oiiint_V \dot{q}\rho dV+\dot{Q}_{viscous}-\oiint_S (pfd\mathcal{V})V+\dot{W}_{viscous}=\frac{\partial }{\partial t}\oiiint_V \rho (e+\frac{V^2}{2})d\mathcal{V}\cdot dS\]
微分形式
\[\dot{q}\rho +\dot{Q}_{viscous}-\nabla \cdot {\rho V}+\rho f\cdot V+\dot{W}_{viscous}=\frac{\partial}{\partial t}[p(e+\frac{V^2}{2})]+\nabla \cdot [\rho (e+\frac{V^2}{2})V]\]
实质导数形式
\[\dot{q}\rho+\dot{Q}_{viscous}-\nabla \cdot \rho V+\rho f\cdot V+\dot{W}_{viscous}=\rho \frac{D(e+\frac{V^2}{2})}{Dt}\]
传热率（控制体单位时间吸收的热量）= 控制体的加热率 + 粘性效应引起热量传递
\[B_1 = \oiiint_V \dot{q}\rho d\mathcal{V}+\dot{Q}_{viscous}\]
做功率（外界对控制体单位时间内所做功）= 控制体表面压力功率 / 控制体体积力功率 + 粘性力功率
\[B_2 = pdS\cdot dV + \dot{W}_{viscous}\]
能量增加率 = 质量经控制面流入 / 流出带来的能量变化率 + 控制体内的流体因流场变化（非定常）导致的能量变化率
\[B_3=\oiint_S \rho (e+\frac{V^2}{2})V \cdot dS+ \frac{\partial}{\partial t}\oiiint_V \rho(e+\frac{V^2}{2})d\mathcal{V}\]
系统吸热 Q+ 外界做功 W= 内能改变 \(\Delta E\)
\[B_1+B_2=B_3\]
微分形式的总能方程
微分形式能量方程的其他形式
积分形式的能量方程
流体动力学方程组的封闭性和定解条件
方程组的封闭性
定解条件
流动相似与相似参数
流动控制方程和定解条件的无量纲化
相似律和相似参数
流体运动的描述方法和流场
拉格朗日方法着眼于流体质点；欧拉法着眼于空间位置
拉格朗日法
流体质点轨迹方程
\[\bm{r}=\bm{r}(a,b,c,t)\]
a、b、c、t 称为拉格朗日坐标或拉格朗日变数
\[\bm{V}=\frac{\partial \bm{r}(a,b,c,t)}{\partial t}
\]
\[\bm{a}=\frac{\partial^2 \bm{r}(a,b,c,t)}{\partial t^2}\]
欧拉法
空间点速度函数
\[\bm{V}=\bm{V}(x,y,z,t)\]
x、y、z、t 称为欧拉坐标或欧拉变数
拉格朗日法和欧拉法的转换
流场
流场：流体运动所处空间，也即流体质点布满或流动参数布满空间
速度场：流动空间各坐标点上的速度矢量构成的场
定常流场：流场任意点流动参数都不随时间变化
随体导数
\[\frac{D}{Dt}=\frac{\partial }{\partial t}+(V\cdot \nabla)=\frac{\partial}{\partial t}+u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+w\frac{\partial }{\partial z}\]
随体导数：\(\frac{D}{Dt}\)
当地导数：\(\frac{\partial}{\partial t}\)
迁移导数：\(u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+w\frac{\partial }{\partial z}\)
流体运动的几何描述
流体微元的运动和变形：平移、线变形、旋转、角变形
对于定常流动，流线、迹线、脉线是重合的
迹线
迹线：流体质点的运动轨迹
流线
流线：流场中各点速度矢量的连线
流线上各点处，微元速度方向与流线相切
流管和流面
流管：定常流动中，若干流线在空间中形成的管。流体不会穿越流管。
脉线
脉线：一段时间内相继通过空间某固定点的很多流体质点连成的线，又称染色线
流体微团的运动分析
流体微团运动过程中形状变化特点
流体微团的基本运动形式
流体微团中毗邻点的速度关系
流体微团基本运动形式的分析
亥姆霍兹速度分解定理
流动实例分析
有旋流动
角速度
\[\vec{\omega}=\frac{1}{2}(\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z})\vec{i}+\frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x})\vec{j}+\frac{1}{2}(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y})\vec{k}\]
涡量（速度旋度）
\[\vec{\xi}=2\vec{\omega}=\nabla \times V\]
应变率
\[\varepsilon_{xy}=\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\]
\[\varepsilon_{yz}=\frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial z}\]
\[\varepsilon_{xz}=\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}\]
体积膨胀（速度散度）
\[\frac{1}{\delta \mathcal{V}}\frac{D(\delta \mathcal{V})}{Dt}=\nabla \cdot V\]
简记方法
Note
\(\nabla \times V\) 在全流场中是否处处为 0
粘性流动一般是有旋流，上下表面的粘性力会使微团旋转
有旋流动的一般概念、涡线和涡管
速度环量及其与涡通量的关系
涡管强度守恒定理及推论
旋涡的诱导速度
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