Chap4 无粘不可压缩流动
无粘不可压缩流体的基本方程
简化流体模型
- 理想流体：无粘流体
- 绝热流体：流体的导热系数视为零
- 不可压缩流体：体积弹性模量无穷大，或密度为常数
伯努利方程
伯努利方程推导
条件：定常，无粘，不可压缩，不考虑体积力
无粘不可压流体（条件 1），忽略体积力（条件 2）
\[\rho \frac{\mathrm{D}V}{\mathrm{D}t}=-\nabla p\]
方程两边点乘速度
\[\rho \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t} (\frac{V^2}{2})=-\nabla p \cdot V\]
\[\frac{\partial}{\partial t} \left( \rho \frac{\mathbf{V}^{2}}{2} \right) + \mathbf{V} \cdot \nabla \left( \rho \frac{\mathbf{V}^{2}}{2} \right) = - \mathbf{V} \cdot (\nabla p)\]
定常（条件 3）
\[\mathbf{V} \cdot \left( \nabla \left( \frac{1}{2} \rho \mathbf{V}^2 \right) + \nabla p \right) = 0\]
\[V \cdot \nabla (\frac{1}{2}\rho V^2+p)=0\]
在同一流线上（条件 4），流线的方向即速度的方向
\[\mathrm{d}s=\frac{V}{|V|}\]
\[d\left(p + \frac{1}{2}\rho \mathbf{V}^2\right) = \nabla \left(p + \frac{1}{2}\rho \mathbf{V}^2\right) \cdot d\mathbf{s} = \nabla \left(p + \frac{1}{2}\rho \mathbf{V}^2\right) \cdot \frac{\mathbf{V}}{|\mathbf{V}|} = 0\]
\[p+\frac{1}{2}\rho V^2=\text{const}\]
无旋流动中，任意方向上均有伯努利方程
伯努利方程物理意义
- 同一条流线上对于有旋和无旋流动均成立
- 常数的值随流线不同而变化
- 对于无旋流动，在整个流场中，常数相等
皮托管
\[\underbrace{p_1}_{\text{ 静压 }}+\underbrace{\frac{1}{2}\rho V^2}_{\text{ 动压 }}=\underbrace{p_0}_{ 总压 } \]
皮托管测速
对于 A，B 点，由伯努利方程
\[p_A+\frac{1}{2}\rho V_A^2=p_B+\frac{1}{2}V_B^2\]
\[V_B=0\]
得
\[V_A=\sqrt{\frac{2(p_B-p_A)}{\rho}}\]
文丘里管
连续性方程
\[A_1V_1=A_2V_2\]
伯努利方程
\[p_A+\frac{1}{2}\rho V_A^2=p_B+\frac{1}{2}V_B^2\]
文丘里管测速
进口、喉道面积比已知，由伯努利方程：
\[V_1^2=\frac{2}{\rho}(p_2-p_1)+V_2^2\]
由连续性方程：
\[V_2=\frac{A_1}{A_2}V_1\]
得：
\[V_1=\sqrt{\frac{2(p_2-p_1)}{\rho[(A_1/A_2)^2-1]}}\]
无旋不可压缩流动控制方程及边界条件
势函数的拉普拉斯方程
势函数的性质
- 速度势函数沿着某一方向的偏导数等于该方向的速度分量，速度势函数沿着流线方向增加
- 速度势函数相等的点连成的线称为等势线，速度方向垂直于等势线
- 连接任意两点的速度曲线等于该两点的速度势函数之差。速度线积分与路径无关，仅决定于两点的位置。如果是封闭曲线，速度环量为零。
流函数的拉普拉斯方程
有旋必无势，无旋必有势，两者等价
流线
流函数值相等的点的流线
\[\psi=C\]
两流线间所通过的体积流量等于其流函数值之差
边界条件
远场边界条件
\[u=\frac{\partial \phi}{\partial x}=\frac{\partial \psi}{\partial y}=V_\infty,v=\frac{\partial \phi}{\partial y}=-\frac{\partial \psi}{\partial x}=0\]
固壁边界条件
气流不能穿越固壁表面
对粘性流动，在翼型表面摩擦力的影响下，物面处的气流速度为零；对无粘流动，物面上的流动速度不为零，其物面上的气流速度必须与物面相切
垂直于物面的法向速度分量为零
势函数：\(\frac{\partial \phi}{\partial n}=0\)
流函数：\(\psi_{\text{surface}}=\psi_{y=y_b}=const.\)
流线方程：\(\frac{\mathrm{d}y_b}{\mathrm{d}x}=(\frac{v}{u})_{\text{surface}}\)
求解无旋不可压缩二维流动的一般步骤
-
在合适的边界条件下求解 \(\phi\) 或者 \(\psi\)。经常可以利用叠加原理，从基本流动的解得到实际流动的拉普拉斯方程的解。
-
从流函数或势函数的定义求解出速度：
-
根据伯努利方程求解压力
一些基本流的解
流动的叠加
半无限体绕流
均匀流与点源的叠加
组合后的流函数：
\[\psi = V_{\infty} r \sin \theta + \frac{\Lambda}{2 \pi} \theta\]
流场速度：
\[V_{r} = -\frac{1}{r} \frac{\partial \psi}{\partial \theta} = V_{\infty} \cos{\theta} + \frac{\Lambda}{2 \pi r}\]
\[V_{\theta} = -\frac{\partial \psi}{\partial r} = -V_{\infty} \sin{\theta}\]
对于每条流线均可以看为固体壁面，但根据实际情况，一般最关心的是驻点所在流线：
\[V_{r} = V_{\infty} \cos \theta + \frac{\Lambda}{2 \pi r} = 0\]
\[V_{\theta} = -V_{\infty} \sin \theta = 0\]
解得：
\[r=\frac{\Lambda}{2\pi V_{\infty}},\theta=\pi\]
则通过驻点的流线：
\[\psi=\frac{\Lambda}{2}\]
兰金椭圆
均匀流 + 点源 + 点汇的组合
组合后的流函数：
\[\psi=V_\infty r\sin \theta+\frac{\Lambda}{2\pi}(\theta_1-\theta_2)\]
兰金椭圆
\[V_\infty r\sin \theta+\frac{\Lambda}{2\pi}(\theta_1-\theta_2)=0\]
- 此流线是一个椭圆方程
- 椭圆将流场分为两部分
- 椭圆内部区域可以用固体区域来取代
- 椭圆外部区域可以表现无粘不可压缩绕椭圆的有势流动
偶极子
点源 + 点汇
组合后的流函数
\[\psi=-\frac{\Lambda}{2\pi}\Delta \theta\]
\[\boxed{\psi=-\frac{\kappa}{2\pi}\frac{\sin \theta}{r}}\]
偶极子的流线方程
偶极子的流线方程为：
\[\psi=-\frac{\kappa}{2\pi}\frac{\sin \theta}{r}=\text{const}=c\]
即
\[r=-\frac{\kappa }{2\pi c}\sin \theta=d\sin \theta\]
偶极子的流线是一族直径为 \(\frac{\kappa}{2\pi c}\) 的圆
当点源和点汇无限靠近时，两者相互叠加，但不是相互抵消
绕圆柱无升力流动（均匀流 / 偶极子）
均匀流 + 偶极子
\[\boxed{\psi=V_{\infty}r\sin\theta (1-\frac{k}{2\pi V_{\infty}r^2})}\]
涡旋流
点涡
- 所有流线为以 O 点为圆心的同心圆
- 流线上速度大小与其到 O 距离成反比
- 涡旋流为不可压缩流动
- 涡旋流除了 O 点，为无旋流动，O 点为奇点
速度：
\[V_r=0,V_\theta=\frac{C}{r}\]
环量：
\[\Gamma=-\oint V \cdot \mathrm{d}s=-V_\theta (2\pi r)\]
涡心的旋度
\[\Gamma=-\iint_s (\nabla \times V)\cdot dS\]
涡心处的旋度为无穷大，涡心为奇点
绕圆柱有升力流动（均匀流 / 涡旋流）
绕圆柱无升力流动（均匀流 + 偶极子）+ 涡旋流
绕圆柱有升力流动的流函数
\[\boxed{\psi=V_{\infty}r\sin\theta (1-\frac{ R^2}{r^2})+\frac{\Gamma}{2\pi}\ln \frac{r}{R}}\]
库塔 - 茹科夫斯基定理
库塔 - 茹科夫斯基定理
一个封闭物体所受升力等于来流的密度乘速度再乘以环量，升力方向等于沿着气流方向逆旋涡旋转 90 度
\[L'=\rho_\infty V_\infty \Gamma\]
- 单位展长上的升力与环量成正比
- 不仅适用于圆柱情况，对任意截面形状的柱状体均适用
面元法求解任意物体无升力绕流
边界条件
\[V_{\infty,n}+V_n=0\]
\[\frac{\lambda_{i}}{2} + \sum_{\substack{j=1 \ (j \neq i)}}^{n} \frac{\lambda_{j}}{2\pi} \int_{j} \frac{\partial}{\partial n_{i}} (\ln r_{ij}) ds_{j} + V_{\infty} \cos \beta_{i} = 0m\]
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