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Chap5 绕翼型不可压缩流动

翼型

几何参数

翼型几何参数

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翼型上下表面由一定形状的曲线连成

  • 前缘（Leading edge）：翼型的最前端点，可定义为，以后缘点为圆心画一圆弧，此弧和翼型的相切点
  • 后缘（Trailing edge）：翼型的最后端点
  • 弦线（Chord line）：翼型前后缘点的连线
  • 弦长（Chord length）：前后缘点之间的距离

翼型的几何特点以弦线为基准线（x 轴）来描述，上下翼面型线的方程可写为

上表面：\(y_u=y_u(x)\) 下表面：\(y_l=y_l(x)\)

上下翼面 y 坐标之差的一般定义为翼型的厚度函数

\[y_t(x)=\frac{1}{2} (y_u-y_l)\]

翼型的弯度函数，即中弧线 y 坐标，为上下翼面 y 坐标之和的一半

\[y_f(x)=\frac{1}{2}(y_u+y_l)\]
  • 厚度（Thickness）：\((y_u-y_l)\) 的最大值
  • 弯度（Camber）：中弧线上最高点的 y 向坐标
  • 中弧线（Mean chamber line）：上下翼面 y 向高度中点的连线

相对厚度：\(\bar{\tau}=\frac{t}{c}=\frac{2y_{t \max}}{c}\)

相对弯度：\(\bar{f}=\frac{f}{c}=\frac{y_{f \max}}{c}\)

NACA 翼型

NACA 翼型系列

NACA（美国国家航空咨询委员会，National Advisory Committee for Aeronautics）系列低速翼型

  • 四数字，NACA2412

    • 第一位：最大弯度相对弦长的百分数
    • 第二位：最大弯度沿弦线距前缘的距离相对弦长的十分数
    • 最后两位：最大弯度与相对弦长的百分数

  • 五数字，NACA23012

    • 第一位：乘以 0.15 为设计升力系数
    • 第二、三位：除以 2 为最大弯度沿弦线距前缘的距离相对弦长的百分数
    • 最后两位：最大厚度与相对弦长的百分数

气动特性

气动特性

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  • 升力：与重力方向相反的气动力分量
  • 升力系数：\(c_l=\frac{F_1}{\frac{1}{2}\rho_\infty V_\infty^2 c}\)
  • 阻力系数：\(c_d=\frac{F_d}{\frac{1}{2}\rho_\infty V_\infty^2 c}\)
  • 升力线斜率：\(a\)
  • 最大升力系数：\(c_{l,\max}\)
  • 攻角：\(\alpha\)
  • 零升力攻角：\(\alpha_{L=0}\)
  • 气动中心（焦点）：气动力矩不随迎角变化的点，称为翼型的气动中心

面涡理论

面涡由无限多的涡丝构成，涡丝与展向平行

穿过面涡的当地切向速度改变量等于当地面涡强度

计算无粘不可压缩翼型绕流的一般步骤

  1. 用强度为 \(\gamma(s)\) 的涡面替换翼型
  2. 找到合适 \(\gamma(s)\) 的分布使得流动满足边界条件以及对实际的物理现象相符
    • 翼型表面为流线，尾缘为驻点（库塔条件）
  3. 计算翼型的环量，并由茹科夫斯基定理求解升力

开尔文环量定理和起动涡

从尾缘脱落的涡称为起动涡 保持在翼型上的涡量称为附着涡 如果翼型立即停止，附着涡也随即脱落下去形成停止涡

库塔条件

具有尖锐后缘物体在粘性流体中运动时，会产生一个适当强度的绕物体环量，其环量大小刚好使得物体的后缘点为流动的驻点

若尾缘夹角为有限大小，则尾缘为后驻点

\[V_{\text{upper}}=V_{\text{lower}}=0\]

若尾缘夹角夹角为 0，则流体沿上下表面流过后缘的速度为相等的有限值

\[V_{\text{upper}}=V_{\text{lower}}\]

库塔条件用面涡强度分布表述

\[\gamma_{\text{TE}}=V_{\text{upper}}-V_{\text{lower}}=0\]

薄翼理论

涡元仅分布在中弧线上，即上下涡面重合

中弧线应为一条流线

均匀来流与面涡诱导流场叠加

要求在尾缘满足库塔条件则 \(\gamma_{\text{TE}}=0\)

速度关系：\(V_{\infty,n}+w' (s)=0\)

\(V_{\infty,n}\)：自由来流在中弧线的法向速度

\(w'(s)\)：涡面在中弧线上的法向诱导速度

薄翼理论基本公式

\[\frac{1}{2\pi}\int_{0}^c \frac{\gamma(\xi)\mathrm{d}\xi}{(x-\xi)}=V_{\infty}(\alpha-\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x})\]

对称翼型

\[\boxed{\gamma(\theta)}=2\alpha V_{\infty} \frac{(1+\cos \theta)}{\sin \theta}\]

有弯度的翼型

  1. 求解涡强分布

  2. 求解涡面环量

  3. 求解单位展长升力

  4. 求解单位展长升力力矩

  5. 求解压力中心

\[x_{cp}=\frac{c}{4}[1+\frac{\pi}{c_l}]\]

薄翼气动特性

  • 对称翼型
    • 升力系数与几何迎角成正比，升力线斜率为 \(2\pi\)
    • 零升力迎角为 0
    • 压力中心与气动中心都在 ¼ 弦线处

    • 升力系数

      \[c_l=2\pi (\alpha-\alpha_{L=0})\]

    有弯度翼型

    • 零升力迎角 \(\(\alpha_{L=0}=-\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}(\cos \theta_0-1)\mathrm{d}\theta\)\)

涡面元法

涡面元法：求解任意形状翼型绕流的数值方法

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  1. 将涡面离散近似为一系列直板的涡面元

每段面元上的强度为常数分别为 \(\gamma_1、\gamma_2,...\gamma_n\)，则第 j 段面元在 P 点诱导的速度势函数为

\[\Delta \phi_j =-\frac{1}{2\pi}\int_j \theta_{pj}\gamma_j \mathrm{d}s_j\]
\[\theta_{pj}=\tan^{-1}\frac{y-y_j}{x-x_j}\]
  1. 求速度势函数

所有面元在 P 点诱导的速度势函数为

\[\phi(P)=\sum_{j=1}^n \Delta \phi_j=-\sum_{j=1}^{n} \frac{\gamma_j}{2\pi}\int_j \theta_{pj}\mathrm{d}s_j\]

所有面元在第 i 个面元控制点诱导的速度势函数为

\[\phi (x_i,y_i)=-\sum_{j=1}^{n} \frac{\gamma_j}{2\pi} \int_j \theta_{ij}\mathrm{d}s_j\]
\[\theta_{ij}=\tan^{-1}\frac{y_i-y_j}{x_i-x_j}\]
  1. 应用边界条件
\[V_{\infty,n}+V_n=0\]
\[\boxed{V_\infty \cos \beta_i-\sum_{j=1}^n \frac{\gamma_j}{2\pi}J_{i,j}=0}\]
  1. 在尾缘应用库塔条件
\[\gamma(TE)=0\]
\[\boxed{\gamma_i+\gamma_{i-1}=0}\]

为 n 个未知数，n+1 个方程，为一个超定系统。

可选择 3）中去掉一个方程，然后与 4）的条件构成一个 n 个未知数，n 个方程的线性系统

  1. 求解线性方程组，得到
\[\gamma_1、\gamma_2,...\gamma_n\]
  1. 翼型内部速度为 0，则表面切向速度为
\[y_i=u_i^{\text{out}}-u_i^{\text{in}}=u_i^{\text{out}}\]

  1. 由伯努利方程求解表面压力分布以及压力系数

  2. 绕翼型的总环量

\[\Gamma=\sum_{i=1}^n \gamma_i s_i\]

单位展长的升力

\[L=\rho_{\infty}V_{\infty}\sum_{i=1}^n \gamma_i s_i\]

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