Chap8 边界层理论 ¶

边界层的概念 ¶

边界层

速度梯度很大的薄层，粘性在该薄层内起作用

边界层厚度 ¶

名义厚度

名义厚度：\(u=0.99U_e\) 处的 y 值 \(\delta(x)\)

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可根据边界层中惯性力与粘性力具有相同量级，大致估计边界层的厚度

惯性力项和粘性力项的量级分别为

\[\rho u \frac{\partial u}{\partial x} \sim \rho \frac{V_\infty^2}{l}, \frac{\partial}{\partial y}(\mu \frac{\partial u}{\partial y})\sim \frac{\mu V_\infty}{\delta^2}\]

若

\[\frac{\rho V_\infty^2}{l} \sim \frac{\mu V_\infty}{\delta^2}\]

则有

\[\delta \sim \sqrt{\frac{\mu l}{\rho \infty}}=\frac{l}{\sqrt{Re}}\]

或写成

\[\frac{\delta}{l}\sim \frac{1}{\sqrt{Re}}\]

排挤厚度

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排挤厚度用于边界层精确计算时修正物面

厚度为 \(\delta\) 的理想流体进入边界层时流量损失等于损失了厚度为 \(\delta_1\) 的理想流体流量 \(\delta_1U_e\)

其被排向主流，使主流的流线较势流流线外移 \(\delta_1\)，相当于势流中物体增加 \(\delta_1\) 厚度

\[\delta_1 U_e=\int_0^\delta (U_e-u) \mathrm{d}y\]

动量损失厚度

边界层内损失的动量相当于厚度为 \(\delta_2\) 的理想流体动量

\[\delta_2 = \int_0^{\infty(\delta)} \frac{u}{U_e} (1-\frac{u}{U_e})\mathrm{d}y\]

边界层动量损失为

\[\int_0^{y_1} \rho u (U_e-u) \mathrm{d}y\]

动能损失厚度

边界层内损失的动能相当于厚度为 \(\delta_3\) 的理想流体动能

\[\delta_3 =\int_{0}^{\infty(\delta)} \frac{u}{U_e}(1-\frac{u^2}{U_e^2}) \mathrm{d}y\]

厚度比较

\(\delta_2<\delta_1<\delta_3\)

都是流向位置 x 的函数，随 x 的增加而增厚

对于可压缩流体，上述各种厚度计算公式变为

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适用于层流和湍流

边界层微分方程 ¶

考察空气流过翼型的流场，流动分为三个区域

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边界层：N-S 方程化简为边界层方程；尾迹区：N-S 方程；势流区：理想流 Euler 方程

Prandtl 边界层方程

在高 Re 数情况下 δ 较小可以忽略，同时忽略质量力，得到 Prandtl 边界层方程为

\[\left\{\begin{aligned}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} + v \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \\ \frac{\partial p}{\partial y} = 0\end{aligned}\right.\]

边界条件为

\[\left\{\begin{aligned}y=0,u=0,v=0 \\ y=\infty ,u=u_e \end{aligned} \right.\]

边界层基本特征

边界层很薄
边界层内速度梯度很大，粘性不可忽略
边界层内压力沿壁面法向不变，等于外部势流压力
边界层内速度分布具有渐进性
边界层有涡性

定常层流边界层问题解法

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平板层流边界层 ¶

边界层方程

半无限长平板、不可压缩、定常、层流、不计重力、\(\frac{\mathrm{d} p_e}{\mathrm{d}x}=0\)

\[\left\{\begin{aligned}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0 \\ u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} = v \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \\ y = 0, \quad u = v = 0 \\ y \rightarrow \infty, \quad u = U_{\infty}\end{aligned}\right.\]

Blasius 解法

化简后得三阶常微分方程

\[\left.\begin{aligned}2F''' + FF'' = 0 \\ \eta = 0, F' = 0, F = 0 \\ \eta \rightarrow \infty, F' = 1\end{aligned}\right\}\]

边界层动量积分式 ¶

边界层动量积分方程

\[\boxed{\frac{\tau_0}{\rho}=u_e^2 \frac{\mathrm{d} \delta_2}{\mathrm{d}x}+u_e (2\delta_2+\delta_1)\frac{\mathrm{d} u_e}{\mathrm{d}x}}\]

无量纲形式

\[\boxed{\frac{C_f}{2}=\frac{\mathrm{d}\delta_2}{\mathrm{d}x}+(2+H)\frac{\delta_2}{u_e}\frac{\mathrm{d}u_e}{\mathrm{d}x}}\]

\(C_f=\frac{\tau_0}{\frac{1}{2}\rho u_e^2}\) 为当地摩擦系数，\(H=\frac{\delta_1}{\delta_2}\) 称为形状因子

对平板边界层流动，有 \(\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=0,\frac{\mathrm{d}u_e}{\mathrm{d}x}=0,u_e=const.\)

\[\frac{\tau_0}{\rho}=u_e^2 \frac{\mathrm{d}\delta_2}{\mathrm{d}x}\]

边界层微分方程的数值解法 ¶

边界层的分离 ¶

边界层中的流体质点受惯性力、粘性力和压力的作用，其中：

惯性力与粘性力的相对大小决定了粘性影响的相对区域大小，或边界层厚度的大小

粘性力的作用始终是阻滞流体质点运动，使流体质点减速，失去动能

压力的作用取决于扰流物体的形状和流道形状，顺压梯度有助于流体加速前进，而逆压梯度阻碍流体运动

分离点

分离点下游区域受逆压梯度的作用而发生倒流。分离点定义为紧邻壁面顺流区与倒流区的分界点

在分离点附近和分离区，边界层假设不再成立

边界层分离的必要条件是：存在逆压梯度和粘性剪切层

边界层分离

在逆压梯度作用下，附面层底层出现倒流，与上层顺流相互作用，形成漩涡脱离物体表面的现象

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