Chap1 Digital Systems and Binary Numbers¶
Introduction¶
电子电路作用：信息处理、能量转换
Summary
- Structure
- hierarchical design
- limited complexity at each level
- reusable building blocks
- Interface
- key elements of system engineering
- isolate technologies, allow evolution
- major abstraction mechanism
- Design
- minimal mechanism, maximal function
- reliable in a wide range of environments
- accommodates future technical improvements
数码
- 数制：数码表示数量时，多位数码每一位的构成方法和从低位到高位的进位规则
- 码制：数码表示不同事物或事物不同状态时，编制代码遵循的规则
- 数字电路中采用二进制，表示数量时称二进制，表示事物时称二值逻辑
Complements of numbers¶
radix complement
Diminished radix complement: Given a number N in base r having n digits, the (r-1)'s complement of N, i.e., its dimished radix complements, is defined as (r^n - 1) - N
Radix complement: The r's complement of an n-digit number N in base r is defined as r^n - N
反码、补码
对于有效数字（不包括符号位）为 n 位的二进制数 N，其补码为
其原码为
教材差异
补码对应英文教材的 "radix complement"，而反码对应英文教材的 "diminished radix complement"
二进制补码对应英文教材中的 "2's Complement"，而反码对应 "1's Complement"
补码的减法
考虑两个有 \(n\) 位数字的 \(r\) 进制无符号数做减法 \(M-N\)
- 将被减数 \(M\) 加上减数 \(N\) 的补码，即 \(M+(r^n-N)=M-N+r^n\)
- 如果 \(M\ge N\)，结果的和将产生可被丢弃的进位 \(r^n\)，剩下的就是 \(M-N\) 的结果
- 如果 \(M<N\)，那么和就不会产生进位，等于 \((r^n-(N-M))\)，即 \((N-M)\) 得补码，计算结果即取和的补码添上符号
注意
- 补码的扩展：前置位全为符号数
- 小数的补码：取补时末尾 +1，不是数值 +1
Signed Binary Numbers¶
ways to represent negetive numbers: signed-magnitude & signed-complement
ways to represent -9
- signed-magnitude: 10001001
- signed-1's-complement: 11110110
- signed-2's-complement: 11110111
原码、补码、反码
逻辑电路输出的高、低电平表示二进制数的 1 和 0，数的正、负如何表示？
不难想到，我们在二进制数前面增加一位作为符号位，0 表示正数，1 表示负数，这种形式的数称为原码
进行减法运算时，使用原码需要比较两数的绝对值，需要使用数值比较电路和减法运算电路，操作过程比较麻烦。我们引入补码简化运算
在舍弃进位的条件下，减去某数相当于加上其补码
记忆方法
- 正数的补码和原码相同
- 负数的反码 = 诸位求反
- 负数的补码 = 诸位求反 + 1
Binary Codes¶
Equal-length Encodings¶
Decimal Codes
Binary-Coded Decimal(BCD, 8421): each group of 4 bits representing one decimal digit
Decimal Codes: BCD8421、2421、Excess-3、84-2-1、6311(631-1)
Gray Code
Gray Code: only one bit in the code group changes in going from one number to the next
格雷码
- 格雷码相邻代码只有一位发生变化，代码转换过程不会产生过渡噪声
- 余 3 循环码即为 4 位格雷码
- 通信网络中，路由器寻找发送数据包的最短路径时，如果路由器采用格雷码编码，可以快速区分最近的路由器
ASCII
American Standard Code for Information Interchange(ASCII): use seven bits to code 128 characters
Error-Detecting Code
Error-Detecting Code: a parity bit is an extra bit included with a message to make the total number of 1's either even or odd
Variable-length Encoding¶
Haffman Code
Haffman Code: use shorter bit sequences for high probability choices, longer sequences for less proable choices
Binary Storage and Registers¶
Binary Logic¶
logiccal operations
logic gates
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