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Chap2 电路分析基础

基尔霍夫定律

基本概念

  • 节点：三个或三个以上电路元件的连接点
  • 支路：连接两个节点之间的电路
  • 回路：电路中任一闭合路径称为回路
  • 网孔：电路中最简单的单孔回路

基尔霍夫电流定律（KCL）：任何节点上的所有支路电流的代数和在任何时刻都等于零

基尔霍夫电压定律（KVL）：形成任何一个回路的所有支路沿同一循行方向电压的代数和在任何时刻都等于零

支路电流法

  1. 标出各支路电流的参考方向，设支路数为 b，则有 b 个支路电流，有 b 个独立方程式
  2. 列写结点的 KCL 电流方程式，设结点数为 n，可建立 (n-1) 个独立方程式
  3. 列写回路的 KVL 电压方程式，数目为 I=[b-(n-1)] 个
  4. 解联立方程组，求出各支路电流

叠加定理与等效源定理

叠加定理

叠加原理

对于一个线性电路，由几个独立电源共同作用所产生的电流或电压，等于各个独立电源单独作用时分别在该支路所产生的电流或电压的代数和

无法显示

注意事项

  • 只限于线性电路
  • 只有电压电流可以叠加，功率不行
  • 除去不作用的电源，对电压源予以短路，对电流源予以开路
  • 受控源不是独立电源，不能单独作用
  • 叠加为代数相加，注意电压电流参考方向

等效电源定理

戴维宁定理

  1. 一个线性有源二端网络可用一个电压源和一个电阻的串联电路等效
  2. 电压等于开路电压 \(U_{OC}\)
  3. 串联电阻等于除去独立电源后在其端口处等效电阻

诺顿定理

  1. 一个线性有源二端网络可用一个电流源和一个电阻的并联电路等效
  2. 电流等于短路电流 \(I_{SC}\)
  3. 并联电阻等于除去独立电源后在其端口处等效电阻

Hint

  1. 被等效的二端网络必须是线性的
  2. 二端网络和外电路之间没有耦合关系（即如果出现受控源，不能是二端网络的电学量影响外电路的电学量）

Note

  1. 串并联化简法
  2. 外施电压法 \(R_0=\frac{U}{I}\)
  3. 开短路法 \(R_0=\frac{U_{OC}}{I_{SC}}\)
  4. 负载实验法

PS：当有源二段网络中含有受控源时，除去独立电源后，受控源仍保留在网络中，应用外施电压法和开路法计算等效电阻，而不能使用串并联化简法

正弦交流电路

正弦量的三要素

三要素：最大值、角频率、初相位

Note

  • \(\varphi=\varphi_u-\varphi_i\)
  • \(\varphi=0\)，\(u\) 和 \(i\) 同相
  • \(\varphi>0\)，\(u\) 超前于 \(i\)，\(i\) 滞后于 \(u\)
  • \(\varphi=180\degree\)，\(u\) 与 \(i\) 反相
  • \(\varphi=90\degree\)，\(u\) 与 \(i\) 正交

正弦量的相量表示法

相量法

  • 相量法：用复数表述正弦量
  • 代数表达式：\(A=a+jb\)
  • 指数表达式：\(A=|A|e^{j\varphi}\)
  • 极坐标表达式：\(A=|A|\angle \varphi\)

正弦量变换为向量 : 有效值 -> 复数的模，初相位 -> 复数的幅角

电阻、电感、电容元件上电压与电流关系的相量形式

电阻

  • 电阻两端 u 与 i 是同频率正弦量
  • u 与 i 同相位
  • 瞬时值、有效值和向量均服从欧姆定律

电感

  • u 与 i 是同频率正弦量
  • i 滞后于 u90°
  • 电感电压有效值等于电流有效值乘以 \(\omega L\)
  • 相量形式的欧姆定律 \(\dot{U}=jX_L\dot{I}\)
  • \(X_L=\omega L=2\pi fL\) 称为感抗
  • 电感在直流稳态时相当于短路

电容

  • u 和 i 是同频率正弦量
  • i 超前于 u90°
  • 相量形式的欧姆定律 \(\dot{U}=-jX_C\dot{I}\)
  • \(X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2\pi fC}\) 称为容抗
  • 高频电流容易通过电容
  • 电容在直流电路处于稳定状态时相当于开路

简单正弦交流电路的计算

RLC 串联电路中

\[\dot{U}=\dot{U}_R+\dot{U}_L+\dot{U}_C\]
\[\dot{U}=R\dot{I}+jX_L\dot{I}-jX_C\dot{I}=[R+j(X_L-X_C)]\dot{I}=(R+jX)\dot{I}=Z\dot{I}\]

复阻抗：\(Z=R+jX\)，电抗：\(X=X_L-X_C\)，阻抗：\(|Z|\)，阻抗角：\(\varphi=arctan\frac{X}{R}\)

电压与电流的有效值之比等于阻抗模，电压与电流的之间的相位差等于阻抗角

复阻抗的进一步讨论

  • \(X>0\)，\(\varphi>0\)，i 滞后于 u，电路为电感性
  • \(X<0\)，\(\varphi<0\)，i 超前于 u，电路为电容性
  • \(X=0\)，\(\varphi=0\)，i 与 u 同相位，电路为电阻性，处于谐振状态

交流电路的功率

瞬时功率：\(p=ui\)

平均功率 / 有功功率：\(P=\frac{1}{T}\int_0^T pdt=UI\cos \varphi=UI\lambda\)

\(\lambda=cos\varphi\) 为功率因数，\(\varphi\) 为功率因数角

RLC 电路中的谐振

串联谐振

谐振频率

\[f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]

特性阻抗

\[\rho=\omega_0 L =\frac{1}{\omega_0C}=\sqrt{\frac{L}{C}}\]

品质因数

\[Q=\frac{U_L}{U}=\frac{U_C}{U}=\frac{2\pi f_0L}{R}=\frac{1}{2\pi f_0CR}\]

谐振曲线

无法显示

并联谐振

\[f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\sqrt{1-\frac{C}{L}R^2}\approx\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]

三相交流电路

三相交流电源

三项交流电源

三相电源：由三个幅值相等、频率相同、相位互差 \(120\degree\) 单相交流电源所构成的电源

无法显示

  • 三个绕组的连接点称为中性点或零点
  • 从中性点引出的导线，称为中性线或零线
  • 三相绕组的三个始端引出的线称为相线或端线，又称为火线
  • 引出中性线的电源称为三相四线制电源，不引出中性线的供电方式称为三相三线制

三相电源相电压的相量表达式为

\[\left.\begin{aligned}\dot{U}_U=U_P \angle 0\degree \\ \dot{U}_V=U_P \angle -120 \degree \\ \dot{U}_W=U_P \angle -240\degree \end{aligned}\right\}\]

三相电路的计算

负载星形联结

无法显示

各项负载电流为

\[\left.\begin{aligned}\dot{I}_U=\frac{\dot{U}_U}{Z_u} \\ \dot{I}_V=\frac{\dot{U}_V}{Z_v} \\ \dot{I}_W=\frac{\dot{U}_w}{Z_w}\end{aligned}\right\}\]

中性线电流

\[\dot{I}_N=-(\dot{I}_U+\dot{I}_V+\dot{I}_W)\]

负载三角形联结

无法显示

三相电路的功率

三相电路的有功功率等于各相有功功率之和

\[P=P_u+P_v+P_w=U_uI_u\cos\varphi_u+U_vI_v\cos \varphi_v +U_wI_w \cos\varphi_w\]
\[P=P_{uv}+P_{vw}+P_{wu}=U_{uv}I_{uv}\cos \varphi_{uv}+U_{vw}I_{vw}\cos \varphi_{vw}+U_{wu}I_{wu}\cos \varphi_{wu}\]

非正弦交流电路

非正弦周期信号的分解

非正弦周期信号作用下线性电路的计算

一阶电路的瞬态分析

换路电路

RC 电路的瞬态分析

RL 电路的瞬态分析

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