Chap4 线性系统的根轨迹法 ¶

根轨迹的基本概念 ¶

根轨迹

根轨迹简称根迹，是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根在 s 平面上变化的轨迹

结论

相角条件是确定 s 平面上根轨迹的充分必要条件

法则 1 根轨迹的起点和终点：根轨迹起于开环极点，终于开环零点

法则 2 根轨迹的分支数、对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环有限零点数 m 和有限极点数 n 中的大者相等，它们是连续的并且对称于实轴

法则 3 根轨迹渐近线：当开环有限极点数 n 大于有限零点数 m 时，有 n-m 条根轨迹分支沿着与实轴夹角为 \(\varphi_a\)、交点为 \(\sigma_a\) 的一组渐进线趋向无穷远处，且有

\[\varphi_a =\frac{(2k+1)\pi}{n-m}, \quad k=0,1,2,...,n-m-1\]

\[\sigma_a=\frac{\sum_{i=1}^n p_i-\sum_{j=1}^m z_j}{n-m}\]

法则 4 根轨迹在实轴上的分布：实轴上的某一趋于，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹

法则 5 根轨迹的分离点与分离角：两条或两条以上根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点，分离点坐标 d 是下列方程的解

\[\sum_{j=1}^m \frac{1}{d-z_j} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{d-p_i}\]

法则 6 根轨迹的起始角与终止角：根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角，以 \(\theta_{p_{i}}\) 标志；根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，称为终止角，以 \(\varphi_{z_i}\) 表示

\[\theta_{p_i}=(2k+1)\pi+(\sum_{j=1}^m \varphi_{z_j p_i}- \sum_{j=1,j\ne i}^n \theta_{p_j p_i}) , k=0,\pm 1,\pm 2\]

\[\varphi_{z_i}=(2k+1)\pi - (\sum_{j=1,j\ne i}^m \varphi_{z_j z_i}- \sum_{j=1}^n \theta_{p_j z_i}), k=0,\pm 1, \pm 2\]

简记为：\(零点角-极点角=(2k+1)\pi\)

法则 7 根轨迹与虚轴的交点：若根轨迹与虚轴相交，则交点上的 \(K^*\) 值和 \(\omega\) 值可用劳斯判据确定，也可令闭环特征方程中的 \(s=\mathrm{j}\omega\)，然后分别令其实部和虚部为零而求得

法则 8 根之和：当 \(n-m\ge 2\) 时，特征方程第二项系数与 \(K^*\) 无关，无论 \(K^*\) 取何值，开环 n 个极点之和总是等于闭环特征方程 n 个根之和

\[\sum_{i=1}^n s_i = \sum_{i=1}^n p_i\]

以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹称为参数根轨迹

时间响应分量的消逝速度，除取决于相应闭环极点的实部值外，还与该极点处的留数，即闭环零、极点之间的相互位置有关

只有偶极子不十分接近坐标原点，它们对系统动态性能的影响就甚微

接近坐标原点的偶极子对系统动态性能的影响必须考虑

如果闭环零、极点之间的距离比它们本身的模值小一个数量级，则这一对闭环零、极点就构成了偶极子

输入信号极点不在主导极点的选择范围之内

闭环实数主导极点的作用，相当于增大系统的阻尼，是峰值时间滞后，超调量下降

评论区

如果有什么问题或想法，欢迎大家在下方留言~