Chap4 线性系统的根轨迹法 ¶

根轨迹的基本概念 ¶

根轨迹

根轨迹简称根迹，是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根在 s 平面上变化的轨迹

法则 1 根轨迹的起点和终点：根轨迹起于开环极点，终于开环零点

法则 2 根轨迹的分支数、对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环有限零点数 m 和有限极点数 n 中的大者相等，它们是连续的并且对称于实轴

法则 3 根轨迹渐近线：当开环有限极点数 n 大于有限零点数 m 时，有 n-m 条根轨迹分支沿着与实轴夹角为 \(\varphi_a\)、交点为 \(\sigma_a\) 的一组渐进线趋向无穷远处

法则 4 根轨迹在实轴上的分布：实轴上的某一趋于，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹

法则 5 根轨迹的分离点与分离角：两条或两条以上根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点，分离点坐标 d 是下列方程的解

\[\sum_{j=1}^m \frac{1}{d-z_j} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{d-p_i}\]

法则 6 根轨迹的起始角与终止角：根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角，以 \(\theta_{p_{i}}\) 标志；根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，称为终止角，以 \(\varphi_{z_i}\) 表示

\[\theta_{p_i}=(2k+1)\pi+(\sum_{j=1}^m \varphi_{z_j p_i}- \sum_{j=1,j\ne i}^n \theta_{p_j p_i}) , k=0,\pm 1,\pm 2\]

\[\varphi_{z_i}=(2k+1)\pi - (\sum_{j=1,j\ne i}^m \varphi_{z_j z_i}- \sum_{j=1}^n \theta_{p_j z_i}), k=0,\pm 1, \pm 2\]

法则 7 根轨迹与虚轴的交点

法则 8 根之和

闭环实数主导极点的作用，相当于增大系统的阻尼，是峰值时间滞后，超调量下降

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