Chap5 线性系统的频域分析法 ¶

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稳定系统的频率特性等于输出和输入的傅氏变换之比

频率特性 ¶

频率特性的基本概念 ¶

系统性能分析的两种基本方法：根轨迹法和频率响应法

定义谐波输入下，输出响应中与输入同频率的谐波分量与谐波输入的幅值之比 \(A(\omega)\) 为幅频特性，相位之差 \(\phi(\omega)\) 为相频特性，并称其指数表达形式

\[G(\mathrm{j}\omega)=A(\omega)e^{\mathrm{j}\phi(\omega)}\]

为系统的频率特性

频率特性的几何表示法 ¶

对数坐标图法即 bode 图法，极坐标图法即 Nyquist 图法

幅相频率特性曲线 ¶

又称幅相曲线或极坐标图

对数频率特性曲线 ¶

又称伯德曲线或伯德图

对数频率特性曲线的横坐标按 \(\lg \omega\) 分度，单位为 rad/s，对数幅频曲线的纵坐标按

\[L(\omega)=20\lg |G(\mathrm{j}\omega)|=20\lg A(\omega)\]

线性分度，单位为 dB。对数相频曲线的纵坐标按 \(\varphi(\omega)\) 线性分度，单位为 °。由此构造的坐标系称为半对数坐标系

在对数分度中，当变量增大或减小 10 倍，称为 10 倍频程（dec）

伯德图的绘制

将开环传递函数写成尾 1 形式
分出各典型环节，确定基准线
列出各环节的转折频率
将各环节叠加作图

对数幅相曲线 ¶

又称尼科尔斯曲线或尼科尔斯图

典型环节与开环系统的频率特性 ¶

典型环节 ¶

典型环节

最小相位环节
- 比例环节 K (K>0)
- 惯性环节 1/(Ts+1) (T>0)
- 一阶微分环节 Ts+1 (T>0)
- 振荡环节 \(1/(s^2/\omega_n^2+2\xi s/\omega_n +1)\)
- 二阶微分环节 \(s^2/\omega_n^2+2\xi s/\omega_n +1\)
- 积分环节 \(1/s\)
- 微分环节 \(s\)
非最小相位环节
- 比例环节 K
- 惯性环节 1/(-Ts+1)
- 一阶微分环节 -Ts+1
- 振荡环节
- 二阶微分环节

最小性为环节对应 s 左半平面的开环零点或极点

典型环节的频率特性 ¶

比例环节 ¶

积分环节 ¶

\[L(\omega)=-20\lg \omega\]

一阶惯性环节 ¶

\[G(s)=\frac{1}{1+Ts},G(\mathrm{j\omega})=\frac{1}{1+T\omega \mathrm{j}}\]

\[L(\omega)=20\lg \frac{1}{\sqrt{1+T^2\omega^2}}=-20\lg \sqrt{1+T^2\omega^2}\]

近似认为，\(\omega < \frac{1}{T}\) 时，\(L(\omega)=0\)，\(\omega >\frac{1}{T}\) 时，\(L(\omega)=-20\lg T\omega\)

\(\omega=\frac{1}{T}\) 称为转折频率

对于相频特性，相角从 0° 变为 -90°，转折频率时相角为 -45°

一阶微分环节 ¶

\[G(s)=1+Ts,G(\mathrm{j}\omega)=1+T\omega \mathrm{j}\]

\[L(\omega)=20\lg \sqrt{1+T^2\omega^2}\]

对于相频特性，相角从 0° 变为 90°，转折频率时相角为 45°

二阶振荡环节 ¶

开环幅相特性曲线 ¶

开环对数频率特性曲线 ¶

无法显示

延迟环节和延迟系统 ¶

输出量经恒定延时后不失真地复现输入量变化的环节称为延迟环节。含有延迟环节的系统称为延迟系统。

\[c(s)=1(t-\tau)r(1-\tau)\]

\[G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=e^{-\tau s}\]

频率域稳定判据 ¶

奈氏判据的数学基础 ¶

幅角原理

设 s 平面闭合曲线 \(\Gamma\) 包围 F(s) 的 Z 个零点和 P 个极点，则 s 沿 \(\Gamma\) 顺时针运动一周时，在 \(F(s)\) 平面上，\(F(s)\) 闭合曲线 \(\Gamma_F\) 包围缘点的圈数

\[R=P-Z\]

奈奎斯特稳定判据 ¶

奈氏判据

反馈控制系统稳定的充分必要条件时半闭合曲线 \(\Gamma_{GH}\) 不穿过 \((-1,\mathrm{j}0)\) 点且逆时针包围临界点 \((-1,\mathrm{j}0)\) 点的圈数 R 等于开环传递函数的正实部极点数 P

\[Z=P-R=P-2N\]

对数频率稳定判据 ¶

对数频率稳定判据

设 P 为开环系统正实部的极点数，反馈控制系统稳定的充分必要条件是 \(\varphi (\omega_c) \ne (2k+1)\pi\quad(k=0,1,2,...)\) 和 \(L(\omega)>0\) 时，\(\Gamma_\varphi\) 曲线穿越 \((2k+1)\pi\) 线的次数

\[N=N_+ -N_-\]

满足

\[Z=P-2N=0\]

条件稳定系统 ¶

闭环稳定有条件的系统称为条件稳定系统；系统总是闭环不稳定的，这样的系统称为结构不稳定系统

稳定裕度 ¶

相角裕度 ¶

相角裕度

定义相角裕度为

\[\gamma=180^\circ + \angle [G(\mathrm{j}\omega_c)H(\mathrm{j}\omega_c)]\]

含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环相频特性再滞后 \(\gamma\) 度，系统将处于临界稳定状态

幅值裕度 ¶

幅值裕度

定义幅值裕度为

\[h=\frac{1}{|G(\mathrm{j}\omega_x)H(\mathrm{j}\omega_x)|}\]

含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大 h 倍，则系统将处于临界稳定状态；对于闭环不稳定的系统，幅值裕度指出为了使系统临界稳定，开环幅频特性应当减小到原来的 \(1/h\)