Chap1 信号与系统
连续时间和离散时间信号
信号
- 连续时间信号：自变量是连续可变的，记为 \(x(t)\)
- 离散时间信号：自变量仅取在一组离散值上，记为 \(x[n]\)
信号的描述
- 物理上：信号是信息寄寓变化的形式
- 数学上：信号是一个或多个变量的函数
- 形态上：信号表现为一种波形
信号能量与功率
能量
对于连续时间信号
\[E_\infty=\lim_{T\rightarrow \infty}\int_{-T}^T |x(t)|^2 \mathrm{d}t =\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2 \mathrm{d}t\]
对于离散时间信号
\[E=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=-N}^{+N}|x[n]|^2=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x[n]|^2\]
功率
对于连续时间信号
\[P_\infty=\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} |x(t)|^2 \mathrm{d}t\]
对于离散时间信号
\[P_\infty=\lim_{N\rightarrow \infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{+N}|x[n]|^2\]
信号分类
- 能量信号：\(E_\infty <\infty\)
- 功率信号：\(P_\infty\) 为不等于零的有限值
- 既非能量信号又非功率信号
自变量的变换
自变量变换举例
自变量变换：时移、时间反转、时间尺度变换
例题
对于信号 \(x(t)\)，求 \(x(\alpha t+\beta)\)
- 根据 \(\beta\) 进行延时或超前
- 根据 \(|\alpha|\) 对此信号进行线性压缩或扩展
- 若 \(\alpha<0\)，进行时间反转
周期信号
周期信号
对于连续时间信号，存在正值 T，使得
\[x(t)=x(t+T)\]
则为周期信号，使上式成立的最小 T，称为基波周期 \(T_0\)
对于离散时间信号，存在正整数 N，使得
\[x[n]=x[n+N]\]
则为周期信号，使上式成立的最小 N，称为基波周期 \(N_0\)
偶信号与奇信号
奇部和偶部
偶部
\[{Ev}\{x(t)\}=\frac{1}{2}[x(t)+x(-t)]\]
奇部
\[{Od}\{x(t)\}=\frac{1}{2}[x(t)-x(-t)]\]
指数信号与正弦信号
连续时间复指数信号与正弦信号
连续时间复指数信号
连续时间复指数信号具有以下形式
\[x(t)=Ce^{at}\]
- 若 C 和 a 均为实数，为实指数信号
- 若 a 为纯虚数，为周期复指数信号
一般复指数信号
一般复指数信号可由实指数信号和周期复指数信号表示，考察复指数信号 \(Ce^{at}\)
\[C=|C|e^{\mathrm{j}\theta}\]
\[a=r+\mathrm{j}\omega_0\]
由欧拉关系，可展开为
\[Ce^{at}=|C|e^{rt}\cos (\omega_0 t+\theta)+\mathrm{j}|C|e^{rt}\sin(\omega_0 t+\theta)\]
离散时间复指数信号与正弦信号
复指数序列
\[x[n]=C\alpha^n=Ce^{\beta n}\]
\[C\alpha^n = |C||\alpha|^n \cos (\omega_0 n+\theta)+\mathrm{j}|C||\alpha|^n \sin (\omega_0 n+\theta)\]
离散时间复指数序列的周期性质
单位冲激与单位阶跃函数
离散时间单位脉冲和单位阶跃序列
单位脉冲
\[\delta[n]=\left\{\begin{aligned}0, n\le 0 \\ 1, n=0\end{aligned}\right.\]
单位阶跃
\[u[n]=\left\{\begin{aligned}0, n<0 \\ 1, n\ge 0 \end{aligned}\right.\]
单位脉冲和单位阶跃的关系
单位脉冲是单位阶跃的一次差分
\[\delta[n]=u[n]-u[n-1]\]
单位阶跃是单位脉冲的求和函数
\[u[n]=\sum_{m=-\infty}^n \delta [m]\]
采样性质
\[x[n]\delta[n]=x[0]\delta[n]\]
\[x[n]\delta[n-n_0]=x[n_0]\delta[n-n_0]\]
连续时间单位阶跃和单位冲激函数
单位阶跃
\[u(t)=\left\{\begin{aligned}0, t<0 \\ 1, t>0 \end{aligned}\right.\]
单位阶跃和单位冲激的关系
单位阶跃是单位冲激的积分函数
\[u(t)=\int_{-\infty}^t \delta(\tau) \mathrm{d}\tau\]
单位冲激可视为单位阶跃的一次微分
\[\delta(t)=\frac{\mathrm{d}u(t)}{\mathrm{d}t}\]
若将积分变量 \(\tau\) 置换为 \(\sigma=t-\tau\)，可表示为
\[u(t)=\int_{-\infty}^t \delta(\tau) \mathrm{d}\tau=\int_\infty^{0}\delta (t-\sigma)(-\mathrm{d}\sigma)\]
等效为
\[u(t)=\int_{0}^\infty \delta(t-\sigma) \mathrm{d}\sigma\]
采样性质
\[x(t)\delta(t)=x(0)\delta(t)\]
\[x(t)\delta(t-t_0)=x(t_0)\delta(t-t_0)\]
连续时间和离散时间系统
系统
连续时间信号系统
\[x(t)\rightarrow y(t)\]
离散时间信号系统
\[x[n]\rightarrow y[n]\]
基本系统性质
记忆系统与无记忆系统
无记忆
无记忆：对自变量的每一个值，一个系统的输出仅仅取决于该时刻的输入
离散时间记忆系统：累加器、延迟单元
可逆性与可逆系统
因果性
因果性
因果性：在任何时刻的输出只取决于现在的输入及过去的输入
稳定性
稳定性
稳定性：输入是有界的，则输出也必须是有界的
时不变性
线性
叠加性质
对于输入的线性组合
\[x[n]=\sum_k a_k x_k[n]\]
的响应为
\[y[n]=\sum_k a_k y_k[n]\]
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