Chap3 周期信号的傅里叶级数表示 ¶
线性时不变系统对复指数信号的响应 ¶
定义
一个信号，若该系统对该信号的输出相应仅是一个常数乘以输入，则称该信号为系统的特征函数，幅度因子称为系统的特征值
复指数是线性时不变系统的特征函数；复指数序列时离散时间线性时不变系统的特征函数
连续时间周期信号的傅里叶级数表示 ¶
成谐波关系的复指数信号的线性组合 ¶
周期信号的傅里叶级数表示
\[x(t)=\sum_{-\infty}^{+\infty}a_k e^{jk\omega_0 t}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{jk(2\pi/T)t}\]
k=1 和 k=-1 的项称为基波分量或一次谐波分量，k=2 和 k=-2 的项称为二次谐波分量，k=N 和 k=-N 的分量称为 N 次谐波分量
对于实周期信号
\[x(t)=a_0+2\sum_{k=1}^\infty A_k \cos (k\omega_0 t+\theta_k)\]
将 \(a_k\) 以笛卡尔坐标形式表示，即令
\[a_k=B_k+C_k\]
\[x(t)=a_0+2\sum_{k=1}^{\infty} [B_k \cos k\omega_0 t -C_k \sin k\omega_0 t]\]
推导过程
由于 x(t) 是一个实信号
\[x(t)=x^*(t)\]
即有
\[x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k^* e^{-jk\omega_0 t}\]
在求和式中，以 -k 代替 k，则有
\[x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_{-k}^* e^{jk\omega_0 t}\]
即有
\[a_k^*=a_{-k}\]
将求和式重新写成
\[x(t)=a_0 + \sum_{k=1}^\infty [a_k e^{jk\omega_0 t}+ a_{-k}e^{-jk\omega_0 t}]\]
以 \(a_k^*\) 代替 \(a_{-k}\)
\[x(t)=a_0+\sum_{k=1}^\infty [a_k e^{jk\omega_0 t}+a_k^* e^{-jk\omega_0 t}]\]
即有
\[x(t)=a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} 2 \mathcal{Re} \{a_k e^{jk\omega_0 t}\}\]
将 \(a_k\) 以极坐标形式给出
\[a_k=A_k e^{j\theta _k}\]
可写成
\[x(t)=a_0 + \sum_{k=1}^\infty 2\mathcal{Re} \{A_k e^{j(k\omega_0 t+\theta_k)}\}\]
即
\[x(t)=a_0+2\sum_{k=1}^{\infty} A_k \cos (k\omega_0 t +\theta_k)\]
连续时间周期信号傅里叶级数表示的确定 ¶
综合公式
\[x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{jk\omega_0 t}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{jk(2\pi/T)t}\]
分析公式
\[a_k=\frac{1}{T} \int_T x(t)=\frac{1}{T} \int_T e^{-jk\omega_0 t}dt=\frac{1}{T} \int_T x(t)e^{-jk (2\pi/T)t}dt\]
\(\{a_k\}\) 称为傅里叶数级系数或频谱系数
傅里叶级数的收敛 ¶
狄里赫利条件
-
在任何周期内，\(x(t)\) 必须绝对可积，即
\[\int_T |x(t)|\mathrm{d}t <\infty\] -
在任意有限区间内，\(x(t)\) 具有有限个起伏变化；即，在任何单个周期内，\(x(t)\) 的最大值和最小值的数目有限
-
在 \(x(t)\) 的任何有限区间内，只有有限个不连续点，且在这些不连续点上，函数是有限值
连续时间傅里叶级数性质 ¶
带有尺度变换的时移特性
\[F[x(at-t_0)]=\frac{1}{|a|}X(\frac{\omega}{a})e^{-j \frac{\omega t_0}{a}}\]
积分特性 ¶
\[F[\int_{-\infty}^{t}x(\tau)\mathrm{d}\tau]=\frac{X(\omega)}{j\omega}+\pi X(0)\delta(\omega)\]
帕斯瓦尔定理 ¶
\[\int_{-\infty}^\infty |x(t)|^2 \mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |X(\omega)|^2 \mathrm{d}\omega\]
信号的总能量可由频域求得
卷积定理 ¶
时域卷积定理
\[x_1(t)*x_x(t) \leftrightarrow X_1(\omega) \cdot X_2(\omega)\]
频域卷积定理
\[x_1(t) \cdot x_2(t) \leftrightarrow \frac{1}{2\pi} X_1(\omega) * X_2(\omega)\]
离散时间周期信号的傅里叶级数表示 ¶
综合公式
\[x[n]=\sum_{k=<N>} a_ke^{jk\omega_0n}=\sum_{k=(N)}a_k e^{jk(2\pi/N)n}\]
分析公式
\[a_k=\frac{1}{N}\sum_{n=<N>}x[n]e^{-jk\omega_0 n}=\frac{1}{N}\sum_{n=<N>}x[n]e^{-jk(2\pi/N)n}\]
离散时间傅里叶级数性质 ¶
差分
前向差分
\[\nabla_f x(n)=x(n+1)-x(n)\]
后向差分
\[\nabla_b x(n)=x(n)-x(n-1)\]
由此可得
\[\nabla_f x(n)=\nabla_b x(n-1)\]
傅里叶级数与线性时不变系统 ¶
滤波 ¶
用微分方程描述的连续时间滤波器举例 ¶
评论区
如果有什么问题或想法，欢迎大家在下方留言~