Chap9 拉普拉斯变换 ¶

拉普拉斯变换 ¶

拉普拉斯变换

信号 x(t) 的拉普拉斯变换定义为

\[X(s)=\int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-st} \mathrm{d}t\]

拉氏变换和傅氏变换的关系

当 $s=\mathrm{j}\omega $

\[X(\mathrm{j}\omega)=\int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-\mathrm{j} \omega t}\mathrm{d}t\]

即为 $x(t)$ 的傅里叶变换

\[X(s)|_{s=\mathrm{j}\omega}=\mathcal{F}\{x(t)\}\]

当 $s$ 不为纯虚数时，将 $s$ 记为 $s=\sigma+\mathrm{j}\omega$

\[X(\sigma +\mathrm{j}\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{(\sigma+\mathrm{j}\omega)} \mathrm{d}t\]

或者

\[X(\sigma+\mathrm{j}\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} [x(t)e^{-\sigma t}]e^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t=\mathcal{F}\{ x(t)e^{-\sigma t}\}\]

收敛域

乘上衰减因子，$x(t)e^{-\sigma t}$ 能否满足绝对可积条件

\[\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|e^{-\sigma t}\mathrm{d}t <\infty\]
取决于信号 $x(t)$ 的性质，也取决于 $\sigma$ 的性质。把能使信号的拉氏变换 $X_b (s)$ 存在的 s 值的范围称为信号 x(t) 的拉普拉斯变换的收敛域，简记为 ROC

性质

X(s) 的收敛域在 s 平面内由平行于 jω 轴的带状区域所组成
对有理拉普拉斯变换来说，收敛域内不包含任何极点
如果 x(t) 是有限持续期，并且是绝对可积的，那么收敛域就是整个 s 平面
如果 x(t) 是右边信号，并且 $Re\{s\}=\sigma_0$ 这条线位于收敛域内，那么 $Re\{s\}>\sigma_0$ 的全部 s 值都一定在收敛域内
如果 x(t) 是左边信号，并且 $Re\{s\}=\sigma_0$ 的全部 s 值也一定在收敛域内
如果 x(t) 是双边信号，并且 $Re{s}=\sigma_0$ 这条线位于收敛域内，那么收敛域就一定由 s 平面的一条带状区域组成，直线 $Re{s}=\sigma_0$ 位于带中
如果 X(t) 的拉普拉斯变换 X(s) 是有理的，那么它的收敛域是被极点所界定的或延伸到无限远。另外，在收敛域内不包含 X(s) 的任何极点
如果 x(t) 的拉普拉斯变换 X(s) 是有理的，那么若 x(t) 是右边信号，则其收敛域在 s 平面上位于最右边极点的左边；若 x(t) 是左边信号，则其收敛域在 s 平面上位于最左边极点的左边

拉普拉斯逆变换

\[\boxed{x(t)=\frac{1}{2\pi \mathrm{j}}\int_{\sigma-\mathrm{j}\infty}^{\sigma+\mathrm{j} \infty} X(s)e^{st} \mathrm{d}t}\]

部分分式法、留数法

若信号 x(t) 是实指数或复指数信号的线性组合，则其拉氏变换可以表示为

\[X_b(s)=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{X_0 \prod_{j=1}^m (s-z_j)}{\prod_{i=1}^{n} (s-p_i)}\]

拉氏变换和傅氏变换的根本区别在于变换的讨论区域不同，前者为 s 平面中的整个收敛区域，后者只是 $j\omega$ 轴

拉氏变换和傅氏变换的关系

收敛域包含 $j\omega$ 轴：只要将 $X_b(s)$ 中的 s 代以 $j\omega$，即为信号的傅氏变换

\[X(\omega)=X_b(s)|_{s=j\omega}\]
收敛域不包含 $j\omega$ 轴：信号的傅氏变换不存在
收敛域的收敛边界位于 $j\omega$ 轴：傅氏变换为

\[X(\omega)=X_b(s)|_{s=j\omega}+\pi \sum_{i=1}^p k_i \delta (\omega-\omega_i)\]

无法显示

无法显示

\[X(s)=\int_{0^-}^{\infty} x(t)e^{-st}\mathrm{d}t\]

信号的单边拉氏变换可视为信号 x(t)u(t) 的双边拉氏变换

评论区

如果有什么问题或想法，欢迎大家在下方留言~