Chap9 拉普拉斯变换 ¶

拉普拉斯变换 ¶

拉普拉斯变换

信号 x(t) 的拉普拉斯变换定义为

\[X(s)=\int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-st} \mathrm{d}t\]

拉氏变换和傅氏变换的关系

当 $s=\mathrm{j}\omega $

\[X(\mathrm{j}\omega)=\int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-\mathrm{j} \omega t}\mathrm{d}t\]

即为 $x(t)$ 的傅里叶变换

\[X(s)|_{s=\mathrm{j}\omega}=\mathcal{F}\{x(t)\}\]

当 $s$ 不为纯虚数时，将 $s$ 记为 $s=\sigma+\mathrm{j}\omega$

\[X(\sigma +\mathrm{j}\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{(\sigma+\mathrm{j}\omega)} \mathrm{d}t\]

或者

\[X(\sigma+\mathrm{j}\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} [x(t)e^{-\sigma t}]e^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t=\mathcal{F}\{ x(t)e^{-\sigma t}\}\]

性质

X(s) 的收敛域在 s 平面内由平行于 jω 轴的带状区域所组成
对有理拉普拉斯变换来说，收敛域内不包含任何极点
如果 x(t) 是有限持续期，并且是绝对可积的，那么收敛域就是整个 s 平面
如果 x(t) 是右边信号，并且 $Re\{s\}=\sigma_0$ 这条线位于收敛域内，那么 $Re\{s\}>\sigma_0$ 的全部 s 值都一定在收敛域内
如果 x(t) 是左边信号，并且 $Re\{s\}=\sigma_0$ 的全部 s 值也一定在收敛域内
如果 x(t) 是双边信号，并且 $Re{s}=\sigma_0$ 这条线位于收敛域内，那么收敛域就一定由 s 平面的一条带状区域组成，直线 $Re{s}=\sigma_0$ 位于带中
如果 X(t) 的拉普拉斯变换 X(s) 是有理的，那么它的收敛域是被极点所界定的或延伸到无限远。另外，在收敛域内不包含 X(s) 的任何极点
如果 x(t) 的拉普拉斯变换 X(s) 是有理的，那么若 x(t) 是右边信号，则其收敛域在 s 平面上位于最右边极点的左边；若 x(t) 是左边信号，则其收敛域在 s 平面上位于最左边极点的左边

拉普拉斯逆变换

\[\boxed{x(t)=\frac{1}{2\pi \mathrm{j}}\int_{\sigma-\mathrm{j}\infty}^{\sigma+\mathrm{j} \infty} X(s)e^{st} \mathrm{d}t}\]