Note
预备知识
复数
复数表示方法
\[z=x+iy=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}\]
欧拉公式
\[e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\]
复数的运算
复数的乘幂
\[z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)=r^n e^{in\theta}\]
棣莫佛公式
\[(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\]
复数的方根
\[w_k=(\sqrt[n]{z})_k =\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta_0+2k\pi}{n}} \quad (k=0,1,2,...n-1)\]
解析函数
定义
奇点：不解析的点
整函数：在整个复平面上解析的函数
柯西 - 黎曼方程（C-R 条件）
\[
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\]
\[
\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}\]
拉普拉斯方程
\[
\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 U}{\partial y^2}=0\]
指数函数
\[e^z=e^x(\cos y + i\sin y)\]
对数函数
\[\ln z=\ln |z|+i(\arg z+2k\pi) \quad(k=0,\pm 1,...)\]
\[Ln z=\ln z+i2k\pi\]
幂函数
三角函数和双曲函数
正弦函数 \(\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\)
余弦函数 \(\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\)
双曲正弦函数 \(\sh z=\frac{e^z-e^{-z}}{2}\)
双曲余弦函数 \(\ch z=\frac{e^z+e^{-z}}{2}\)
满足以下重要性质：
\(\cos(iz)=\ch z,\quad \sin(iz)=i \sh z\)
\(\ch (iz)=\cos z,\quad \sh(iz)=i \sin z\)
复变函数的积分
定理
\[\int_C f(z)dz=\int_C udx-vdy + i \int_C vdx+udy\]
等式
\[\oint_C\frac{1}{(z-a)^n}dz=
\left\{
\begin{aligned}
\pi i,n=1 \\
0,n \neq 1(整数)
\end{aligned}
\right.
\]
柯西积分定理
设函数 \(f(z)\) 在封闭曲线 \(C\) 上及其所包围的单连通区域 \(D\) 内解析，则
\[\oint_C f(z)dz=0\]
柯西积分公式
设函数 \(f(z)\) 在有界闭区域 \(D+C\) 上解析（\(C\) 为单连通或多连通区域 \(D\) 的边界），则
\[f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz \quad (z_0 \in D)\]
解析函数的无穷可微性
高阶导数的柯西积分公式
\[f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz \quad(n=1,2,...)\]
柯西不等式
设函数 \(f(z)\) 在闭圆盘 \({z;|z-z_0| \le R}\) 上解析，则有
\[|f^{(n)}(z_0)|\le\frac{n!}{R^n}M\]
其中 \(M=\max_{n \in |z-z_0|=R}|f(z)|\)
刘维尔定理
有界整函数 \(f(z)\) 必为常数
代数学基本定理
\(n\) 次多项式必有 \(n\) 个零点
级数
复数项级数与幂级数
幂级数的收敛半径
\[lim_{n \rightarrow \infty}\lvert\frac{C_n}{C_{n+1}}\rvert=R\]
\[lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt[n]{\lvert X_n \rvert}}=R\]
台劳级数
台劳定理
设 \(f(z)\) 在以 \(z_0\) 为中心、\(R\) 为半径的圆域 \(D=\{z;\lvert z-z_0 \rvert<R\}\) 内解析，于是 \(f(z)\) 在此圆内可以展开为幂级数
\[f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}C_n(z-z_0)^n \quad (\lvert z-z_0\rvert<R)\]
其中系数
\[C_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C_r}\frac{f(s)}{(s-z_0)^{n+1}}ds \quad(n=0,1,2...)\]
当取 \(z_0=0\) 时，亦称麦克劳林级数
\(f(z)=\sum_{n=0}{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n=f(0)+\frac{f^{\prime(0)}}{1!}z+...\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n+... \quad(\lvert z \rvert <R )\)
解析函数零点的孤立性及唯一性定理
罗朗级数
罗朗定理
设函数在以 \(z_0\) 为中心的圆环 \({R_1<\lvert z-z_0 \rvert <R_2}\) 内解析，则在此圆环内，函数可以展开成级数
\[f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}C_n(z-z_0)^n \quad (\lvert z-z_0\rvert<R)\]
其中系数
\[C_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_R}\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}d\xi\]
负幂部分称为主部，正幂部分称为解析部分
留数
孤立奇点的分类及其性质
- 可去奇点：主部为零
- \(m\) 级奇点：主部只有有限项
- 本性奇点：主部中有无穷多项
留数定理
留数定义
\[Res[f(z);z_0]=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_{\rho}
}f(z)dz=C_{-1}\]
留数定理
\[\oint_Cf(z)=\sum_{k=1}^n Res[f(z);z_k]\]
留数计算
\[Res[f(z);z_0]=\frac{1}{(m-1)!}lim_{z \rightarrow z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z-z_0)^mf(z)]\]
推论 1：若 \(f(z)=\frac{\psi(z)}{(z-z_0)^m}\)，其中 \(\psi(z)\) 在 \(z_0\) 点解析，且 \(\psi (z_0) \neq0\)，\(m \ge1\)，则
\[Res[\frac{\psi(z)}{(z-z_0)^m};z_0]=\frac{\psi^{(m-1)}(z_0)}{(m-1)!}\]
推论 2：若 \(f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}\)，其中 \(P(z)\) 与 \(Q(z)\) 在 \(z_0\) 点解析，且 \(P(z_0) \neq0\)，\(Q(z_0)=0\)，而 \(Q^{\prime}(z_)\neq0\)（即 \(z_0\) 为 \(f(z)\) 的单极点），则
\[Res[\frac{P(z)}{Q(z)};z_0]=\lim_{z \rightarrow z_0}[(z-z_))\frac{P(z)}{Q(z)}]=\frac{P(z_0)}{Q^\prime (z_0)}\]
推论 3：\(z_0\) 是函数 \(g(z)\) 的 \(k\) 级（\(k \ge1\)）零点，是 \(h(z)\) 的 \(k+1\) 级零点，则 \(z_0\) 是 \(f(z)=\frac{g(z)}{h(z)}\) 的单极点，且
\[Res[\frac{g(z)}{h(z)};z_0]=(k+1)\frac{g^{(k)}(z_0)}{h^{(k+1)}(z_0)}\]
留数定理的应用
\(\int_0^{2\pi}R(\cos\theta,\sin\theta)d\theta\) 型积分
设 \(R(\cos\theta,\sin\theta)\) 是 \(\cos\theta\)，\(\sin\theta\) 的有理函数，且在 \([0,2\pi]\) 上连续，则
\[\int_0^{2\pi}R(\cos\theta,\sin\theta)d\theta=2\pi i\sum{f(z) 在单位圆内极点处的留数 }\]
其中
\[f(z)=\frac{1}{iz}R(\frac{z^2+1}{2z},\frac{z^2-1}{2zi})\]
\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx\) 型积分
设 \(f(z)\) 在整个复平面 \(\mathscr{C}\) 上除有限个极点外均解析，且这些极点不在实轴上，如果存在一个常数 \(M\) 和一个正数 \(R\)，使得对于一切 \(|z| \ge R\)，有
\[|f(z)|\le\frac{M}{|z|^2}\]
成立，则有
\[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=2\pi i\sum\{f(z) 在上半面极点处的留数 \}\]
对于有理函数 \(f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}=\frac{a_0+a_1z+...+a_nz^n}{b_0+b_1z+...+b_mz^m} \quad(m\ge n+2)\) 同样成立
\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\alpha x}f(x)dx\) 型积分 （\(\alpha>0\)）
设 \(f(z)\) 在 \(\mathscr{C}\) 上除有限个极点外均解析
保角映射
保角映射的概念
若干初等函数所确定的映射
相似映射
\[w=kz \quad(k>0)\]
旋转映射
\[w=e^{i\alpha}z\]
平移映射
\[w=z+b\]
倒数映射
\[w=\frac{1}{z}\]
幂函数映射
\[w=z^n \quad(n \ge 2 自然数 )\]
指数映射
\[w=e^z\]
水平带域映射为角域
对数映射
$$$$
角域映射为水平带域
分式线性映射
定理
\[\frac{w-w_1}{w-w_2}\cdot \frac{w_3-w_2}{w_3-w_1}=\frac{z-z_1}{z-z_2}\frac{z_3-z_2}{z_3-z_1}\]
将上半平面映射成单位圆内部的分式线性映射
\[w=e^{i\theta}\frac{z-z_0}{z-\overline{z_0}}\]
将单位圆内部映射成单位圆内部的分式线性映射
\[w=e^{i\theta}\frac{z-z_0}{1-\overline{z_0}z}\]
拉普拉斯变换
拉氏变换的基本概念
拉氏变换的定义
\[F(s)=\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}dt=L[f(t)]\]
拉氏变换的基本性质
等式
\[L(t^a)=\frac{\Gamma (a+1)}{-s^{a+1}}$$
$$L[e^{kt}u(t)]=\frac{1}{s-k}$$
$$L[\sin \omega t]=\frac{\omega}{s^2+\omega^2},\quad Re(s)> 0$$
$$L[\cos \omega t]=\frac{s}{s^2+\omega^2},\quad Re(s)>0$$
$$L[\sh \omega t]=\frac{\omega}{s^2-\omega^2}, \quad Re(s)>|\omega|$$
$$L[\sh \omega t]=\frac{s}{s^2-\omega^2} \quad Res(s)>|\omega|$$
$$L[t\sin\omega t]=\frac{2\omega s}{(s^2+\omega^2)^2}$$
$$L[t\cos \omega t]=\frac{s^2-\omega^2}{(s^2+\omega^2)^2}$$
$$L[t^n]=\frac{n!}{s^{n+1}},\quad(n=0,1,2,...),Re(s)>0\]
平移性质
时移性质
\[L(f(t-t_0))=e^{-st_0}F(s)\]
\[L^{-1}[e^{-st_0}F(s)]=f(t-t_0) \quad(t_0>0)\]
\[L^{-1}[e^{-st_0}]F(s)=f(t-t_0)u(t-t_0) \quad(t_0<0)\]
频移性质
\[L[e^{s_0 t f(t)}]=F(s-s_0)\]
微分性质
象原函数的微分性质
若 \(L[f(t)]=F(s)\)，且 \(f^{\prime}(t)\) 也是原函数，则
\[L[f'(t)]=sF(s)-f(0^{+})\]
象函数的微分性质
\[L[(-t)^n f(t)]=F^{(n)}(s), \quad n=0,1,1,...\]
积分性质
象原函数的积分性质
\[L[\int_0^t f(\tou)]\]
极限性质
卷积性质
拉式逆变换
反演公式
\[f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty}F(s)e^{st}ds\]
拉氏变换的应用
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