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Chap2 复变函数

复变函数的概念

复变函数

设 \(D\) 是复变数 \(z\) 的一个集合，对于 \(D\) 中的每一个 \(z\)，有一个或多个复数 \(w\) 的值与之相应，则称 \(w\) 为定义在 \(D\) 上的复变函数，记作

\[w=f(z)\quad(z\in D)\]

若对于定义集 \(D\) 的每一个 \(z\)，有且仅有一个 \(w\in G\) 与之对应，则称 \(w=f(z)(z \in{D})\) 为单值函数，否则成为多值函数

复变函数建立了两个平面区域定义域 \(D\) 与值域 \(G\) 间的对应关系，亦称为映射

映射

设 \(f\) 是区域 \(D\) 到区域 \(G\) 的单值函数

  • 如果对于任意 \(z_1,z_2\in D\) 且 \(z_1\ne z_2\)，有 \(f(z_1)\ne f(z_2)\)，则称 \(f\) 是单射
  • 如果 \(f(D)=G\)，则称 \(f\) 是满射
  • 如果 \(f\) 既是单射又是满射，则称 \(f\) 是双射

可以得出

  • 如果 \(f\) 是单射，则对于每一个 \(w\in f(D)\)，只有一个 \(z\in D\) 使得 \(f(z)=w\)
  • 如果 \(f\) 是满射，则对于每一个 \(w\in G\)，至少存在一个 \(z\in D\) 使得 \(f(z)=w\)
  • 如果 \(f\) 是双射，则存在 \(f\) 的反函数 \(f^{-1}:G\rightarrow D\)

极限与连续

解析函数

复变函数的导数

奇点：不解析的点 整函数：在整个复平面上解析的函数

解析函数的充分必要条件

柯西 - 黎曼方程

设 \(D\) 是函数 \(f(z)=u(x,y)+\mathrm{i}v(x,y)\) 的定义域，\(z=x+\mathrm{i}y\) 是 \(D\) 的内点，则 \(f(z)\) 在点 \(z\) 可导的充分必要条件是 \(u(x,y)\) 和 \(v(x,y)\) 在点 \((x,y)\) 处可微，且满足柯西 - 黎曼方程（或简称 C-R 条件）

\[\left\{\begin{aligned}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}\end{aligned}\right.\]

此时

\[f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial x}\quad or \quad f'(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-\mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial y}\]

解析函数和调和函数的关系

拉普拉斯方程

\[ \frac{\partial^2 U}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 U}{\partial y^2}=0\]

初等解析函数

指数函数

\[e^z=e^x(\cos y + \mathrm{i}\sin y)\]

对数函数

\[\ln z=\ln |z|+i(\arg z+2k\pi) \quad(k=0,\pm 1,...)\]
\[\text{Ln} z=\ln z+i2k\pi\]

幂函数

\[z^\mu=e^{\mu \text{Ln}z}\]

三角函数和双曲函数

正弦函数 \(\sin z=\frac{e^{\mathrm{i}z}-e^{-\mathrm{i}z}}{2\mathrm{i}}\)

余弦函数 \(\cos z=\frac{e^{\mathrm{i}z}+e^{-\mathrm{i}z}}{2}\)

双曲正弦函数 \(\sh z=\frac{e^z-e^{-z}}{2}\)

双曲余弦函数 \(\ch z=\frac{e^z+e^{-z}}{2}\)

满足以下重要性质：

\(\cos(iz)=\ch z,\quad \sin(iz)=i \sh z\)

\(\ch (iz)=\cos z,\quad \sh(iz)=i \sin z\)

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