Chap2 复变函数 ¶
解析函数 ¶
定义
奇点：不解析的点 整函数：在整个复平面上解析的函数
柯西 - 黎曼方程（C-R 条件）
\[
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\]
\[
\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}\]
拉普拉斯方程
\[
\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 U}{\partial y^2}=0\]
指数函数
\[e^z=e^x(\cos y + i\sin y)\]
对数函数
\[\ln z=\ln |z|+i(\arg z+2k\pi) \quad(k=0,\pm 1,...)\]
\[Ln z=\ln z+i2k\pi\]
幂函数
三角函数和双曲函数
正弦函数 \(\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\) 余弦函数 \(\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\) 双曲正弦函数 \(\sh z=\frac{e^z-e^{-z}}{2}\) 双曲余弦函数 \(\ch z=\frac{e^z+e^{-z}}{2}\)
满足以下重要性质：
\(\cos(iz)=\ch z,\quad \sin(iz)=i \sh z\) \(\ch (iz)=\cos z,\quad \sh(iz)=i \sin z\)
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