Chap3 复变函数的积分 ¶
定理
\[\int_C f(z)dz=\int_C udx-vdy + i \int_C vdx+udy\]
等式
\[\oint_C\frac{1}{(z-a)^n}dz=
\left\{
\begin{aligned}
\pi i,n=1 \\
0,n \neq 1(整数)
\end{aligned}
\right.
\]
柯西积分定理
设函数 \(f(z)\) 在封闭曲线 \(C\) 上及其所包围的单连通区域 \(D\) 内解析，则
\[\oint_C f(z)dz=0\]
柯西积分公式
设函数 \(f(z)\) 在有界闭区域 \(D+C\) 上解析（\(C\) 为单连通或多连通区域 \(D\) 的边界
\[f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz \quad (z_0 \in D)\]
解析函数的无穷可微性 ¶
高阶导数的柯西积分公式
\[f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz \quad(n=1,2,...)\]
柯西不等式
设函数 \(f(z)\) 在闭圆盘 \({z;|z-z_0| \le R}\) 上解析，则有
\[|f^{(n)}(z_0)|\le\frac{n!}{R^n}M\]
其中 \(M=\max_{n \in |z-z_0|=R}|f(z)|\)
刘维尔定理
有界整函数 \(f(z)\) 必为常数
代数学基本定理
\(n\) 次多项式必有 \(n\) 个零点
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