Chap4 级数 ¶
级数 ¶
复数项级数与幂级数 ¶
幂级数的收敛半径
\[lim_{n \rightarrow \infty}\lvert\frac{C_n}{C_{n+1}}\rvert=R\]
\[lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt[n]{\lvert X_n \rvert}}=R\]
台劳级数 ¶
台劳定理
设 \(f(z)\) 在以 \(z_0\) 为中心、\(R\) 为半径的圆域 \(D=\{z;\lvert z-z_0 \rvert<R\}\) 内解析，于是 \(f(z)\) 在此圆内可以展开为幂级数
\[f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}C_n(z-z_0)^n \quad (\lvert z-z_0\rvert<R)\]
其中系数
\[C_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C_r}\frac{f(s)}{(s-z_0)^{n+1}}ds \quad(n=0,1,2...)\]
当取 \(z_0=0\) 时，亦称麦克劳林级数
\(f(z)=\sum_{n=0}{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n=f(0)+\frac{f^{\prime(0)}}{1!}z+...\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n+... \quad(\lvert z \rvert <R )\)
解析函数零点的孤立性及唯一性定理 ¶
罗朗级数 ¶
罗朗定理
设函数在以 \(z_0\) 为中心的圆环 \({R_1<\lvert z-z_0 \rvert <R_2}\) 内解析，则在此圆环内，函数可以展开成级数
\[f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}C_n(z-z_0)^n \quad (\lvert z-z_0\rvert<R)\]
其中系数
\[C_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_R}\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}d\xi\]
负幂部分称为主部，正幂部分称为解析部分
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