Chap5 留数 ¶
孤立奇点的分类及其性质 ¶
- 可去奇点:主部为零
- \(m\) 级奇点:主部只有有限项
- 本性奇点:主部中有无穷多项
留数定理 ¶
留数定义
留数定理
留数计算
推论 1:若 \(f(z)=\frac{\psi(z)}{(z-z_0)^m}\),其中 \(\psi(z)\) 在 \(z_0\) 点解析,且 \(\psi (z_0) \neq0\),\(m \ge1\),则
推论 2:若 \(f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}\),其中 \(P(z)\) 与 \(Q(z)\) 在 \(z_0\) 点解析,且 \(P(z_0) \neq0\),\(Q(z_0)=0\),而 \(Q^{\prime}(z_)\neq0\)(即 \(z_0\) 为 \(f(z)\) 的单极点
推论 3:\(z_0\) 是函数 \(g(z)\) 的 \(k\) 级(\(k \ge1\))零点,是 \(h(z)\) 的 \(k+1\) 级零点,则 \(z_0\) 是 \(f(z)=\frac{g(z)}{h(z)}\) 的单极点,且
留数定理的应用 ¶
\(\int_0^{2\pi}R(\cos\theta,\sin\theta)d\theta\) 型积分
设 \(R(\cos\theta,\sin\theta)\) 是 \(\cos\theta\),\(\sin\theta\) 的有理函数,且在 \([0,2\pi]\) 上连续,则
其中
\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx\) 型积分
设 \(f(z)\) 在整个复平面 \(\mathscr{C}\) 上除有限个极点外均解析,且这些极点不在实轴上,如果存在一个常数 \(M\) 和一个正数 \(R\),使得对于一切 \(|z| \ge R\),有
成立,则有
对于有理函数 \(f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}=\frac{a_0+a_1z+...+a_nz^n}{b_0+b_1z+...+b_mz^m} \quad(m\ge n+2)\) 同样成立
\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\alpha x}f(x)dx\) 型积分 (\(\alpha>0\))
设 \(f(z)\) 在 \(\mathscr{C}\) 上除有限个极点外均解析
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