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Chap5 留数

孤立奇点的分类及其性质

  • 可去奇点:主部为零
  • \(m\) 级奇点:主部只有有限项
  • 本性奇点:主部中有无穷多项

留数定理

留数定义

\[Res[f(z);z_0]=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_{\rho} }f(z)dz=C_{-1}\]

留数定理

\[\oint_Cf(z)=\sum_{k=1}^n Res[f(z);z_k]\]

留数计算

\[Res[f(z);z_0]=\frac{1}{(m-1)!}lim_{z \rightarrow z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z-z_0)^mf(z)]\]

推论 1:若 \(f(z)=\frac{\psi(z)}{(z-z_0)^m}\),其中 \(\psi(z)\) \(z_0\) 点解析,且 \(\psi (z_0) \neq0\)\(m \ge1\),则

\[Res[\frac{\psi(z)}{(z-z_0)^m};z_0]=\frac{\psi^{(m-1)}(z_0)}{(m-1)!}\]

推论 2:若 \(f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}\),其中 \(P(z)\) \(Q(z)\) \(z_0\) 点解析,且 \(P(z_0) \neq0\)\(Q(z_0)=0\),而 \(Q^{\prime}(z_)\neq0\)(即 \(z_0\) \(f(z)\) 的单极点,则

\[Res[\frac{P(z)}{Q(z)};z_0]=\lim_{z \rightarrow z_0}[(z-z_))\frac{P(z)}{Q(z)}]=\frac{P(z_0)}{Q^\prime (z_0)}\]

推论 3\(z_0\) 是函数 \(g(z)\) \(k\) 级(\(k \ge1\))零点,是 \(h(z)\) \(k+1\) 级零点,则 \(z_0\) \(f(z)=\frac{g(z)}{h(z)}\) 的单极点,且

\[Res[\frac{g(z)}{h(z)};z_0]=(k+1)\frac{g^{(k)}(z_0)}{h^{(k+1)}(z_0)}\]

留数定理的应用

\(\int_0^{2\pi}R(\cos\theta,\sin\theta)d\theta\) 型积分

\(R(\cos\theta,\sin\theta)\) \(\cos\theta\)\(\sin\theta\) 的有理函数,且在 \([0,2\pi]\) 上连续,则

\[\int_0^{2\pi}R(\cos\theta,\sin\theta)d\theta=2\pi i\sum{f(z) 在单位圆内极点处的留数 }\]

其中

\[f(z)=\frac{1}{iz}R(\frac{z^2+1}{2z},\frac{z^2-1}{2zi})\]

\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx\) 型积分

\(f(z)\) 在整个复平面 \(\mathscr{C}\) 上除有限个极点外均解析,且这些极点不在实轴上,如果存在一个常数 \(M\) 和一个正数 \(R\),使得对于一切 \(|z| \ge R\),有

\[|f(z)|\le\frac{M}{|z|^2}\]

成立,则有

\[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=2\pi i\sum\{f(z) 在上半面极点处的留数 \}\]

对于有理函数 \(f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}=\frac{a_0+a_1z+...+a_nz^n}{b_0+b_1z+...+b_mz^m} \quad(m\ge n+2)\) 同样成立

\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\alpha x}f(x)dx\) 型积分 (\(\alpha>0\)

\(f(z)\) \(\mathscr{C}\) 上除有限个极点外均解析

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