Chap7 拉普拉斯变换 ¶
拉氏变换的基本概念 ¶
拉氏变换的定义 ¶
设函数 \(f(t)\) 在 \(t\ge0\) 有定义,而且积分
存在,则称 \(F(s)\) 位 \(f(t)\) 的拉普拉斯变换,简称拉氏变换,记为
\(f(t)\) 称为 \(F(s)\) 的反变换,记为
拉氏变换的基本性质 ¶
线性性质 ¶
线性性质
平移性质 ¶
时移性质
频移性质
微分性质 ¶
象原函数的微分性质
若 \(L[f(t)]=F(s)\),且 \(f^{\prime}(t)\) 也是原函数,则
可类推到原函数 n 阶导数拉氏变换
若 f(t) 及其各阶导数的初始值都为零,则
象函数的微分性质
积分性质 ¶
象原函数的积分性质
若 \(L[f(t)]=F(s)\),则
若原函数 f(t) 及其各重积分初始值都为零,则
象函数的积分性质
若 \(L[f(t)]=F(s)\),积分 \(\int_s^\infty F(u)\mathrm{d}u\) 收敛,且 \(\frac{f(t)}{t}\) 的 LT 存在,且
极限性质 ¶
初值关系
若 \(L[f(t)]=F(s)\),则
终值关系
若 \(L[f(t)]=F(s)\),且 \(f(+\infty)\) 存在,\(sF(s)\) 的所有奇点在半平面 \(Re(s)<\sigma_0\),则
卷积性质 ¶
卷积概念
如果
存在,则称为 \(f_1(t)\) 和 \(f_2(t)\) 的卷积,记为 \(f_1(t)*f_2(t)\)
卷积定理
设 \(L[f(t)]=F(s),L[g(t)]=G(s)\),则
拉式逆变换 ¶
拉氏变换的反演公式 ¶
定理
若复值函数 \(f(t)\) 满足 LT 存在定理条件,则在 \(f(t)\) 的任意连续点处
利用留数理论计算象原函数 ¶
定理
若 \(F(s)\) 的全部奇点 \(s_1,s_2,...s_n\) 都在 \(Re(s)<\sigma\) 内,且当 \(s\) 在 \(Re(s)\le \sigma\) 上趋于无穷时,\(F(s)\) 趋于零,则
拉氏变换的应用 ¶
拉氏变换求解微分方程
- 对微分方程进行拉氏变换
- 根据得出的代数方程求出输出的拉氏变换表达式
- 将输出的拉氏变换表达式展开成部分分式,求出各项系数
- 查拉氏变换表,求得原函数
- \(F(s)\) 有不同实数极点
- \(F(s)\) 有共轭复数极点
Example
求拉氏反变换 \(F(s)=\frac{s-3}{s^2+2s+2}\)
查表得 \(f(t)=e^{-t}(\cos t-4\sin t)\)
- \(F(s)\) 有重实数极点
假设 \(F(s)\) 有 L 重极点 \(p_1\),其余极点均不相同,则
其中
重要的拉氏变换 ¶
\(f(t)\) | \(F(s)\) | \(f(t)\) | \(F(s)\) |
---|---|---|---|
\(\delta(t)\) | 1 | \(\sin \omega t\) | \(\frac{\omega}{s^2+\omega^2}\) |
\(1(t)\) | \(\frac{1}{s}\) | \(\cos \omega t\) | \(\frac{s}{s^2+\omega^2}\) |
\(t\) | \(\frac{1}{s^2}\) | \(e^{-at}\sin\omega t\) | \(\frac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}\) |
\(e^{-at}\) | \(\frac{1}{s+a}\) | \(e^{-at}\cos \omega t\) | \(\frac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2}\) |
评论区