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Chap7 拉普拉斯变换

拉氏变换的基本概念

拉氏变换的定义

设函数 \(f(t)\) 在 \(t\ge0\) 有定义，而且积分

\[F(s)=\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}dt\]

存在，则称 \(F(s)\) 位 \(f(t)\) 的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，记为

\[F(s)=L[f(t)]\]

\(f(t)\) 称为 \(F(s)\) 的反变换，记为

\[f(t)=L^{-1}[F(s)]\]

拉氏变换的基本性质

线性性质

线性性质

\[L[\alpha_1f_1(t)+\alpha_2f_2(t)]=\alpha_1F_1(s)+\alpha_2F_2(s)\]
\[L^{-1}[\alpha_1F_1(s)+\alpha_2F_s(s)]=\alpha_1f_1(t)+\alpha_2f_2(t)\]

平移性质

时移性质

\[L(f(t-t_0))=e^{-st_0}F(s)\]
\[L^{-1}[e^{-st_0}F(s)]=f(t-t_0) \quad(t_0>0)\]
\[L^{-1}[e^{-st_0}]F(s)=f(t-t_0)u(t-t_0) \quad(t_0<0)\]

频移性质

\[L[e^{s_0 t f(t)}]=F(s-s_0)\]

微分性质

象原函数的微分性质

若 \(L[f(t)]=F(s)\)，且 \(f^{\prime}(t)\) 也是原函数，则

\[L[f'(t)]=sF(s)-f(0^{+})\]

可类推到原函数 n 阶导数拉氏变换

\[L[f^{(n)}(t)]=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f^\prime(0)-...-f^{(n-1)}(0)\]

若 f(t) 及其各阶导数的初始值都为零，则

\[L[f^{(n)}(t)]=s^nF(s)\]

象函数的微分性质

\[L[(-t)^n f(t)]=F^{(n)}(s), \quad n=0,1,2,...\]

积分性质

象原函数的积分性质

若 \(L[f(t)]=F(s)\)，则

\[L[\int_0^t f(\tau)\mathrm{d}\tau]=\frac{1}{s}F(s)\]

若原函数 f(t) 及其各重积分初始值都为零，则

\[L[\int\int ... \int f(t)\mathrm{d}t^n]=\frac{1}{s^n}F(s)\]

象函数的积分性质

若 \(L[f(t)]=F(s)\)，积分 \(\int_s^\infty F(u)\mathrm{d}u\) 收敛，且 \(\frac{f(t)}{t}\) 的 LT 存在，且

\[L[\frac{f(t)}{t}]=\int_s^\infty F(u)\mathrm{d}u\]

极限性质

初值关系

若 \(L[f(t)]=F(s)\)，则

\[f(0^+)=\lim_{s\rightarrow \infty}sF(s)\]

终值关系

若 \(L[f(t)]=F(s)\)，且 \(f(+\infty)\) 存在，\(sF(s)\) 的所有奇点在半平面 \(Re(s)<\sigma_0\)，则

\[f(+\infty)=\lim_{s\rightarrow 0}sF(s)\]

卷积性质

卷积概念

如果

\[\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau)\mathrm{d}\tau\]

存在，则称为 \(f_1(t)\) 和 \(f_2(t)\) 的卷积，记为 \(f_1(t)*f_2(t)\)

卷积定理

设 \(L[f(t)]=F(s),L[g(t)]=G(s)\)，则

\[L[f(t)*g(t)]=F(s)\cdot G(s)\]
\[L^{-1}[F(s)G(s)]=f(t)*g(t)\]

拉式逆变换

拉氏变换的反演公式

定理

若复值函数 \(f(t)\) 满足 LT 存在定理条件，则在 \(f(t)\) 的任意连续点处

\[f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty}F(s)e^{st}ds\]

利用留数理论计算象原函数

定理

若 \(F(s)\) 的全部奇点 \(s_1,s_2,...s_n\) 都在 \(Re(s)<\sigma\) 内，且当 \(s\) 在 \(Re(s)\le \sigma\) 上趋于无穷时，\(F(s)\) 趋于零，则

\[f(t)=L^{-1}[F(s)]=\sum_{k=1}^n Res[F(s)e^{st};s_k], t>0\]

拉氏变换的应用

拉氏变换求解微分方程

  1. 对微分方程进行拉氏变换
  2. 根据得出的代数方程求出输出的拉氏变换表达式
  3. 将输出的拉氏变换表达式展开成部分分式，求出各项系数
  4. 查拉氏变换表，求得原函数
\[F(s)=\frac{M(s)}{D(s)}=\frac{b_0s^m+b_1s^{m-1}+...b_{m-1}s+b_m}{a_0s^n+a_1s^{n-1}+...a_{n-1}s+a_n}, (m<n)\]
  1. \(F(s)\) 有不同实数极点
\[F(s)=\frac{c_1}{s-p_1}+\frac{c_2}{s-p_2}+...+\frac{c_n}{s-p_n}\]
\[c_i=[F(s)(s-p_i)]_{s=p_i}\]
  1. \(F(s)\) 有共轭复数极点

Example

求拉氏反变换 \(F(s)=\frac{s-3}{s^2+2s+2}\)

\[F(s)=\frac{s-3}{(s+1)^2+1}=\frac{s+1}{(s+1)^2+1}-\frac{4}{(s+1)^2+1}\]

查表得 \(f(t)=e^{-t}(\cos t-4\sin t)\)

  1. \(F(s)\) 有重实数极点

假设 \(F(s)\) 有 L 重极点 \(p_1\)，其余极点均不相同，则

\[F(s)=\frac{M(s)}{D(s)}=\frac{c_1}{(s-p_1)^l}+\frac{c_2}{(s-p_2)^{l-1}}+...+\frac{c_1}{s-p_1}+\frac{c_{l+1}}{s-p_{l+1}}+...+\frac{c_n}{s-p_n}\]

其中

\[c_l=[F(s)\cdot (s-p_1)^l]_{s=p_1}\]
\[c_{l-i}=\frac{1}{i!}\{\frac{\mathrm{d}^i}{\mathrm{d}s}[F(s)(s-p_1)^l]\}_{s=p_1}\]

重要的拉氏变换

\(f(t)\) \(F(s)\) \(f(t)\) \(F(s)\)
\(\delta(t)\) 1 \(\sin \omega t\) \(\frac{\omega}{s^2+\omega^2}\)
\(1(t)\) \(\frac{1}{s}\) \(\cos \omega t\) \(\frac{s}{s^2+\omega^2}\)
\(t\) \(\frac{1}{s^2}\) \(e^{-at}\sin\omega t\) \(\frac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}\)
\(e^{-at}\) \(\frac{1}{s+a}\) \(e^{-at}\cos \omega t\) \(\frac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2}\)

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