常微分方程 ¶
一阶线性 ODE ¶
\[\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\]
\(Q(x)=0\) 时称为齐次线性方程，反之为非其次线性方程
Note
- 求齐次线性方程的通解（分离变量法）
\[\frac{dy}{dx}+P(x)y=0\]
\[\frac{dy}{y}=-P(x)dx\]
\[ln|y|=-\int P(x)dx+C\]
\[y=Ce^{-\int P(x)dx}\]
-
求非齐次线性方程的通解（常数变易法）
-
假设 \(y=u(x)e^{-\int P(x)dx}\) 是非齐次线性方程的通解
-
代入原方程，得 \(u^{\prime}(x)e^{-\int P(x)dx}= Q(x)\)
-
可得 \(u(x)=\int Q(x)e^{\int P(x)}dx+C\)
-
故通解为 \(y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)\)
二阶 ¶
\[
y^{\prime\prime}+py^{\prime}+qy=0
\]
\(p^2-4q>0\)，有两根 \(r_1 \ne r_2\)
\[
y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}
\]
\(p^2-4q=0\)，有两根 \(r_1=r_2=r\)
\[
y=(C_1+C_2 x)e^{rx}
\]
\(p^2-4q<0\)，有两复根 \(r_{1,2}=\alpha+i \beta\)
\[
y=e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x+ C_2 \sin \beta x)
\]
欧拉方程 ¶
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