Numerical Methods Lab¶

Lab 01¶

语句加上分号可以隐藏输出
matlab 可以自动解方程
清空命令行命令：clc
开始 / 结束命令行日志命令：diary lab01.txt / diary off
块注释：%{ %}

a = input("");
x = double(a-1); 
y = double((a-1)/(a+1));
term = double(0);
result1 = double(0);
result2 = double(0);
i = 1;

%采用方法一
while i<=100
    term = power(-1,i+1)/i*power(x,i);
    result1 = result1 + term;
    i = i + 1;
end
fprintf("%.6f\n",result1)

i = 1;
term = double(0);

%采用方法二
while i<=100
    term = 1/(2*i-1) * power(y,2*i-1);
    result2 = result2 + term;
    i = i + 1;
end
result2 = result2 * 2;
fprintf("%.6f\n",result2)

Lab02¶

一个文件一般只有一个同名函数
函数定义：function [k, p, err, P] = fixpt(g, p0, to1, max1)

函数调用：[k,p,err,P] = fixpt(@fun3,1,eps,10000);

function [k, p, err, P] = fixpt(g, p0, to1, max1)
    % k=迭代次数，p=不动点近似值，err=误差，P=存储迭代结果的数组
    % g=迭代函数，p0=初始值，to1=误差，max1=最大迭代次数
    P(1) = p0;
    for k = 2:max1
        P(k) = feval(g, P(k - 1)); % 迭代
        err = abs(P(k) - P(k - 1));
        relerr = err / (abs(P(k)) + eps);
        p = P(k);
        if (err < to1) || (relerr < to1)
            break
        end
    end
    if k == max1
       disp('maximum number of iterations exceeded');
    end
end

1. 上方代码为不动点迭代函数 2. fun1在x处的导数绝对值>1，迭代显示出发散性；fun2、fun3反之,，迭代显示出收敛性

Lab03¶

矩阵赋值 直接赋值

A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9];

使用函数

B = zeros(3, 4); % 创建一个 3x4 的全零矩阵
C = ones(2, 3);  % 创建一个 2x3 的全一矩阵
D = eye(3);      % 创建一个 3x3 的单位矩阵

代码样例

function X=gauss(A,B,n)
%A表示系数矩阵，A|B表示增广矩阵，n表示未知数个数
%消去
for i=1:n-1 %以第i行为基准
    for j=i+1:n %对第j行进行操作
        factor=A(j,i)/A(i,i);
        for k=i+1:n %对第k个进行操作
            A(j,k)=A(j,k)-factor*A(i,k);
        end
        B(j)=B(j)-factor*B(i);
    end
end

%回代
X(n)=B(n)/A(n,n)
for i=n-1:-1:1
    sum=B(i);
    for j=i+1:n
        sum=sum-A(i,j)*X(j);
    end
    X(i)=sum/A(i,i);
end
end

+ 原始高斯消去算法即有一定误差 + 当系数矩阵发生扰动时，解的变化较大，表明该线性方程组为病态

Lab04¶

Matlab 函数 + linspace %生成指定区间等间距数组 + plot %生成图形 + legend %标识各条线 + hold on %将绘图添加到现有图形中 + figure %打开新的图窗，并将其作为当前图窗 + clf reset %清空图窗 + grid on %启用网格线 + grid off %禁用网格线

代码样例

% 拉格朗日插值函数
function y=lagrange(f, n, x)
    x_dot=linspace(-5, 5, n);
    y_dot=f(x_dot);
    y=0;
    for i=1:n
        term=1;
        for j=1:n
            if j ~= i
                term=term.*(x-x_dot(j))/(x_dot(i)-x_dot(j));
            end
        end
        y=y+y_dot(i)*term;
    end
end

% 分段线性插值函数
function y=linear(f,n,x)
    x_dot=linspace(-5,5,n);
    y_dot=f(x_dot);
    for i=1:n-1
        if (x_dot(i)<=x && x<=x_dot(i+1))
            k=(y_dot(i+1)-y_dot(i))/(x_dot(i+1)-x_dot(i));
            y=y_dot(i)+k*(x-x_dot(i));
        end
    end
end

总体来看，低次线性插值随节点数目增多拟合效果变好的，这意味着我们总是可以通过增加节点数保证误差要求；不过光滑性较差，不能保证导数连续
对于拉格朗日插值函数，可以看出来 n=10 近似效果不如更少的节点，表明高次精度也不一定就好

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