Chap1 绪论 ¶
概览 ¶
根据计算机特点，研究通过计算机求工程问题满足精度要求的近似解。应用数值计算方法解决工程问题的流程如下：
- 建立数学模型
- 简化成一系列算术运算和逻辑运算
- 求出问题数值解
- 对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析计算
数学模型 ¶
用数学语言来表达物理系统或过程本质特征的公式或方程
- 因变量 =f( 自变量，参数，强制函数 )
- 因变量：用来刻画系统行为或状态的特征量
- 自变量：通常为维度，如时间和空间，系统的行为是用自变量来确定的
- 参数：反映系统的性质或组成
- 强制函数：外部对系统施加的影响。
数值方法特点 ¶
- 稳定性
- 准确性与精确性
- 收敛速度
误差分析 ¶
误差种类的来源 ¶
- 数值误差：包括舍入误差和截断误差
- 舍入误差：由于计算机只能表示有限位数的量
- 截断误差：由于数值方法可能运用近似方法表示准确数值运算或数量
- 不与数值方法直接相关的误差：如粗差、形式化或模型误差、数据不确定性误差
绝对误差
\[e(x^*)=x-x^*\]
误差限
\[|e(x^*)|=|x-x^*|\le \varepsilon\]
相对误差
\[e_r(x^*)=\frac{e(x^*)}{x}=\frac{x-x^*}{x}\]
相对误差限
\[|e_r(x^*)|=|\frac{e(x^*)}{x^*}|\le \varepsilon_r\]
有效数字 ¶
有效数字：若近似值 \(x^*\) 的误差限是 \(\frac{1}{2}\times 10^{-n}\)，则称 \(x^*\) 准确到小数点后第 \(n\) 位，并从第一个非零数字到这一位的所有数字均称为有效数字
舍入误差 ¶
- 数的计算机表示
- 计算机中的算术运算
数的计算机表示 ¶
截断误差 ¶
- 多项式数值计算的近似
- 误差与步长的 n+1 次方成比例
误差传播 ¶
- 函数导数的绝对值较大
- 初始误差可稳定传播或不稳定传播
算法的数值稳定性 ¶
计算机运算误差原因 ¶
- 通用算术运算
- 有效数字丢失
- 主要体现在尾数的调整
- 大规模计算
- 舍入误差的累积效应
- 大数和小数相加
- 如无穷级数求和
- 减性抵销
- 两个几乎相等的浮点数所引起的舍入误差
- 如二次求根公式
- 变换公式或扩展精度
- 除数绝对值远小于被除数绝对值
- 拖尾效应
- 求和过程中，某一项的值大于和值本身
- 在符号交替的级数中会出现
- 内积
- 使用扩展精度
总结 ¶
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