Chap1 方程的导出和定解问题 ¶

方程的导出 ¶

偏微分方程的导出 ¶

弦的微小横振动

有一个完全柔软的弦，沿水平直线绷紧，而后以某种方法激发，使弦在同一个平面上作小振动，列出弦的横振动方程。

推导过程

对于柔软的弦，张力沿着切线方向作用

wfxs

在弦上隔离出一小段弦元，其重力与所受张力相比可忽略不计

AB 段无纵向（\(x\) 轴方向）运动，故有

\[T_2\cos \alpha_2-T_1\cos \alpha_1=0\]

不妨认为 \(\mathrm{d}s\approx \mathrm{d}x,\alpha_1 \approx 0,\alpha \approx 0,\cos \alpha_1 \approx 1,\sin \alpha_1 \approx \tan \alpha_1=u_x|_x,\sin \alpha_2 \approx \tan \alpha_2 =u_x|_{x+\Delta x}\)

根据牛顿第二定律，得横向的运动方程

\[T_s \sin \alpha_2 -T_1 \sin \alpha_1 =(\rho \Delta x)u_{tt}\]

其中 \(\rho\) 为线密度。不难得到 \(T_1=T_2\)。由胡克定律知张力 \(T\) 与时间 \(t\) 无关，故张力 \(T\) 为常数，记为 \(T_0\)，即有

\[T_0 (u_x|_{x+\Delta x}-u_x|_x)=(\rho \Delta x)u_{tt}\]

利用微分中值定理，令 \(\Delta x \rightarrow 0\)，得

\[T_0u_{xx}=a^2u_{ttt}\]

记 \(a^2=T_0/\rho\)，即有

\[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\]

数学物理方程 ¶

含有未知函数及其偏导数的关系式，即偏微分方程，又称数学物理方程。

我们给出以下示例：

示例：弦的微小横振动

弦的微小横振动方程，又称一维波动方程

\[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\]

若弦在振动过程中受到外力作用，则有弦的强迫振动方程

\[ u_{tt} = a^2 u_{xx} +f(x,t) \]

示例：膜的微小横振动

二维波动方程

\[u_{tt}=a^2(u_{xx}+u_{yy})\]

膜的受迫振动方程

\[u_{tt}=a^2 (u_{xx}+u_{yy})+f(x,y,t)\]

考察波在空间的传播，得到三维的波动方程

\[u_{tt}=a^2 \nabla^2 u+f(P,t)\]

若记 \(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=\nabla^2 u=\Delta u=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\)，其中 \(\nabla^2\) 或 \(\Delta\) 称为 Laplace 算子，则一般的波动方程为

\[u_{tt}=a^2 \nabla^2 u+f(P,t)\]

热传导方程

根据热传导的 Fourier 定律和热量守恒定律，可以推导出热传导方程

\[ u_t=a^2\Delta u \]

\[ u_t=a^2 \Delta u + f(x,y,z,t) \]

在无热源的热传导问题中，经过相当长时间后，各点的温度随时间的推移趋于稳定，称为温度分布趋于稳恒状态，此时 \(u_t=0\)，方程为

\[ \Delta u=0 \]

上式称为 Laplace 方程，又称为调和方程

类似地若热源与时间无关，且温度分布达到稳恒状态时有

\[\Delta u =f(x,y,z)\]

上式称为 Poission 方程

偏微分方程的一般形式为

\[F(x_1,x_2,...x_n,u,u_{x_1},...,u_{x_1x_2})=0\]

方程中出现的未知函数 \(u=u(x_1,...x_n)\) 的最高导数的阶数称为方程的阶。若 \(F\) 对 \(u\) 及其各阶偏导数来说是线性函数，则称该方程是线性方程。

\(n\) 个自变量二阶线性方程的一般形式为

\[\sum_{i,j=1}^n a_{ij}\frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j}+\sum_{i=1}^n b_i \frac{\partial u}{\partial x_i}+cu=f\]

不含 \(u\) 及其偏导数的项称为自由项。若 \(f\equiv 0\)，称为线性齐次方程，反之称为线性非齐次方程。

若 \(u\) 及其各阶偏导数的系数均是常数，称为常系数的线性方程。

定解条件和定解问题 ¶

边界条件 ¶

未知函数在边界上的值已知，称为第Ⅰ类边界条件

\[ u|_{x=0} \equiv u(0,t)=f_1(t) \]

\[ u|_{x=l} \equiv u(l,t)=f_2(t) \]

未知函数沿界面的外法向的方向导数已知，称为第Ⅱ类边界条件

\[ \frac{\partial u}{\partial n}|_{x=l} = g(t) \]

未知函数及其外法向方向导数的线性组合在界面上已知，称为第Ⅲ类边界条件

\[ (\frac{\partial u}{\partial n}+ \mu u)|_{x=t}=f(t) \]

对于二维或三维空间的物理模型，可类似写出各类边界条件，如第Ⅲ类边界条件是

\[(h\frac{\partial u}{\partial n}+ku)|_{s}=f(P,t)\]

若 \(f(P,t)\equiv 0\)，称边界条件是齐次的，否则称为非齐次边界条件。

初始条件 ¶

初始条件是整个被研究系统的某些必要的初始状态。

初始条件，边界条件统称为定解条件。方程和定解条件构成定解问题。

边界条件和方程组成的边值问题称为边值问题。三类边界条件加上方程构成的定解问题分别称为：第一边值问题（Dirichlet 问题），第二边值问题（Neumann 问题），第三边值问题（Robin 问题）。当边值问题考虑的区域是无限时，通常要求 \(\lim_{p\rightarrow \infty}u(P)=0\)，称为自然的边界条件。

初始条件和方程组成的定解问题称为初值问题，又称 Cauchy 问题。

既有初始条件又有边界条件的定解问题称为混合问题。

解的存在性、唯一性和连续依赖性，总称为定解问题的适定性。

二阶线性方程的分类和叠加原理 ¶

二阶线性方程的分类 ¶

对于平面上的二次曲线方程，有一般形式

\[ax^2+2bxy+cy^2+dx+ey=f\]

经过适当的坐标变化可将上式化简为椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。我们希望对于二阶线性偏微分方程，也有适当的自变量变换，将其化简，从而得到标准型。

对于二阶线性偏微分方程

\[ au_{xx}+2bu_{xy}+cu_{yy}+du_{x}+eu_{y}+fu=g \]

设有自变量变换

\[\left\{\begin{aligned}\xi=\xi(x,y) \\ \eta=\eta(x,y) \end{aligned}\right.\]

代入得到

\[a_1u_{\xi\xi}+2b_1u_{\xi\eta}+c_1u_{\eta\eta}+d_1u_\xi+e_1u_{\eta}+f_1u=g_1\]

其中

\[\left\{\begin{aligned}a_1 =a\xi_x^2+2b\xi_x \xi_y+c\xi_y^2 \\ c_1=a\eta_x^2 +2b \eta_x \eta_y +c\eta_y^2\end{aligned}\right.\]

我们可以取适当的 \(\xi(x,y)\) 和 \(\eta(x,y)\)，使 \(a_1=c_1=0\)，以实现方程的化简

注意到 \(a_1\) 和 \(c_1\) 的形式统一，即 \(\xi(x,y)\) 和 \(\eta(x,y)\) 可以取下列一阶偏微分的两个线性无关的解

\[a\xi_x^2+2b\xi_x\xi_y+c=0\]

令

\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{-\xi_x}{\xi_y}\]

则有

\[a(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2-2b\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+c=0\]

特征方程

我们称其为特征方程

\[ a(\frac{dy}{dx})^2 -2b\frac{dy}{dx}+c=0 \]

相应的积分曲线称为特征线

根据判别式的符号，我们可以对二阶线性偏微分方程进行分类讨论

\[\Delta=b^2-ac\]

双曲型方程 ¶

\(\Delta>0\)，方程有两个不等的实根，可以得到两个通积分

\[\xi(x,y)=C_1,\eta(x,y)=C_2\]

引进替换

\[\xi=s+t\]

\[\eta=s-t\]

可以得到双曲型方程的标准型

\[ u_{ss}-u_{tt}=H_2(s,t,u,u_s,u_t) \]

抛物型方程 ¶

\(\Delta=0\)，方程只有一个实根，通积分为 \(\xi(x,y)=C_1\)，取与 \(\xi(x,y)\) 无关的任一函数 \(\eta=\eta(x,y)\)

方程可以化简为

\[ u_{\eta\eta}=H_3(\xi,\eta,u,u_\xi,u_\eta) \]

称为抛物型方程的标准型

椭圆型方程 ¶

\(\Delta<0\)，方程有一对共轭复根，解得通积分 \(\xi(x,y)=C_1\) 和 \(\eta(x,y)=C_2\)，其中 \(\eta=\bar{\xi}\)

引进替换

\[\xi=s+\mathrm{i}r\]

\[\eta=s-\mathrm{i}r\]

方程化简为

\[ u_{ss}+u_{tt}=H_4(s,r,u,u_s,u_r) \]

称为椭圆型方程的标准型

热传导方程、波动方程和拉普拉斯方程分别是抛物型、双曲型和椭圆型三类方程的典型代表。

二阶线性偏微分方程的化简

求特征方程
求特征线
作替换化简

线性方程的叠加原理 ¶

设有二阶线性偏微分方程

\[\sum_{i,j=1}^n a_{ij}\frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j}+\sum_{i=1}^n b_i \frac{\partial u}{\partial x_i}+cu=f\]

引入算子

\[L=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}\frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j}+\sum_{i=1}^n b_i \frac{\partial }{\partial x_i}+c\]

则方程可改写为

\[Lu=f\]

线性算子

我们给出线性算子的概念，若算子 M 满足

\[M(c_1u_1+c_2u_2)=c_1M(u_1)+c_2M(u_2)\]

则称 M 为线性算子

故 L 为线性（微分）算子

我们给出线性方程的叠加原理

线性方程的叠加原理

若 \(u_i\) 是 \(Lu=0\) 的解，\(c_i\) 为任意常数，则 \(\sum_{i=1}^n c_iu_i=u\) 也是 \(Lu=0\) 的解
若 \(u_i\) 是 \(Lu=0\) 的解，\(\bar{u}\) 是非齐次方程 \(Lu=f\) 的一个解，则 \(u=\sum_{i=1}^n c_iu_i+\bar{u}\) 满足 \(Lu=f\)
设 \(L(u_1)=f_1,L(u_2)=f_2\)，则 \(L(c_1u_1+c_2u_2)=c_1f_1+c_2f_2\)
设 \(L(u_i)=0\) 且 \(\sum_{i=1}^\infty c_iu_i\) 在 G 中一致收敛，对自变量 \((x_1...x_n)\) 逐项微分两次后的级数在 G 中仍一致收敛，则 \(u=\sum_{i=1}^\infty c_iu_i\) 是 \(Lu=0\) 的解

对于非线性方程或非线性边界条件，叠加原理不再成立

二维 Laplace 方程的通解 ¶

二阶常微分方程的通解中含有两个任意常数，与之类似，二阶偏微分方程的通解中含有两个任意函数

例如，偏微分方程 \(\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial x^2}=0\) 的通解为

\[u(x,y)=c_1(y)+xc_2(y)\]

其中 \(c_1(y)\) 和 \(c_2(y)\) 是任意函数

又如，偏微分方程 \(\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial x\partial y}=0\) 的通解为

\[u(x,y)=c_1(x)+c_2(y)\]

其中 \(c_1(x)\) 和 \(c_2(y)\) 是任意函数

对于二维 Laplace 方程 \(\nabla^2 u=0\)，我们作变换

\[\xi=x+\mathrm{i}y,\eta=x-\mathrm{i}y\]

原方程变为 \(\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta}=0\)

可得通解为

\[u(x,y)=f(x+\mathrm{i}y)+g(x-\mathrm{i}y)\]

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