Chap1 方程的导出和定解问题 ¶

波动方程

\[ u_{tt}=a^2 \Delta u \]

\[ u_{tt} = a^2 \Delta u +f(x,t) \]

热传导方程

\[ u_t=a^2\Delta u \]

\[ u_t=a^2 \Delta u + f(x,y,z,t) \]

调和方程

Laplace 方程

\[ \Delta u=0 \]

Poission 方程

\[ \Delta u =f(x,y,z) \]

边界条件

第Ⅰ类边界条件

\[ u|_{x=0} \equiv u(0,t)=f_1(t) \]

\[ u|_{x=l} \equiv u(l,t)=f_2(t) \]

第Ⅱ类边界条件

\[ \frac{\partial u}{\partial n}|_{x=l} = g(t) \]

第Ⅲ类边界条件

\[ (\frac{\partial u}{\partial n}+ \mu u)|_{x=t}=f(t) \]

初始条件

二阶线性方程

\[ au_{xx}+2bu_{xy}+cu_{yy}+du_{x}+eu_{y}+fu=g \]

特征方程

\[ a(\frac{dy}{dx})^2 -2b\frac{dy}{dx}+c=0 \]

相应的积分曲线称为特征线

双曲型方程的标准型

\[ u_{ss}-u_{tt}=H_2(s,t,u,u_s,u_t) \]

抛物型方程的标准型

\[ u_{\eta\eta}=H_3(\xi,\eta,u,u_\xi,u_\eta) \]

椭圆型方程的标准型

\[ u_{ss}+u_{tt}=H_4(s,r,u,u_s,u_r) \]

Note

线性方程的叠加原理

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