Chap2 行波法
一维波动方程的初值问题
无界弦的自由振动
对于无界弦的自由振动，可归纳为求解下列的定解问题
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},(-\infty<x<+\infty,t>0) \\
u|_{t=0}=\varphi(x),(-\infty<x<+\infty) \\
\frac{\partial u}{\partial t} |_{t=0}=\psi(x),(-\infty<x<+\infty)
\end{array}
\right.
\]
下式为该定解问题的解，称为 D'Alembert 公式
\[
u(x,t)=\frac{1}{2} (\varphi (x-at) +\varphi (x+at)) + \frac{1}{2a} \int_{x-at}^{x+at} \psi(\alpha) d\alpha
\]
推导过程
作自变量变换
\[\left\{\begin{aligned}\xi=x-at \\ \eta=x+at\end{aligned}\right.\]
方程化为
\[\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta}=0\]
即有
\[u(\xi,\eta)=F(\xi)+G(\eta)\]
换回原变量，得到通解
\[u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)\]
由初始条件不难得到
\[F(x)+G(x)=\varphi(x)\]
\[a[-F'(x)+G'(x)]=\psi(x)\]
对上式两边关于 x 积分得
\[-F(x)+G(x)=\frac{1}{a}\int_{x_0}^{x}\psi(\alpha)\mathrm{d}\alpha+C\]
其中 \(C=G(x_0)-F(x_0)\)
联立解得
\[F(x)=\frac{1}{2}\varphi(x)-\frac{1}{2a}\int_{x_0}^{x_1} \psi(\alpha)\mathrm{d}\alpha-\frac{C}{2}\]
\[G(x)=\frac{1}{2}\varphi(x)+\frac{1}{2a}\int_{x_0}^{x_1}\psi(\alpha)\mathrm{d}\alpha+\frac{C}{2}\]
代入即有 D'Alembert 公式
半无界弦的自由振动
一端固定的半无限长的弦自由振动，可归结为求解下列定解问题
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},(0<x<+\infty,t>0) \\
u|_{t=0}=\varphi(x),(0<x<+\infty) \\
\frac{\partial u}{\partial t} |_{t=0}=\psi(x),(0<x<+\infty)
\\
u|_{x=0}=0,(t\ge 0)
\end{array}
\right.
\]
推导过程
我们希望能够通过 D'Alembert 公式求解，为此将 \(u(x,t),\varphi(x),\psi(x)\) 关于 \(x\) 作奇延拓，即有
\[U(x,t)=\left\{\begin{aligned}u(x,t),(x\ge 0)\\ -u(-x,t),(x<0)\end{aligned}\right.\]
\[\Phi(x)=\left\{\begin{aligned}\varphi(x),(x\ge 0)\\-\varphi(-x),(x<0)\end{aligned}\right.\]
\[\Psi(x)=\left\{\begin{aligned}\psi(x),(x\ge 0)\\-\psi(-x),(x<0)\end{aligned}\right.\]
不难验证 U(x,t) 是下列初值问题的解
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\frac{\partial^2 U}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 U}{\partial x^2},(-\infty<x<+\infty,t>0) \\
U|_{t=0}=\Phi(x),(-\infty<x<+\infty) \\
\frac{\partial U}{\partial t} |_{t=0}=\Psi(x),(-\infty<x<+\infty)
\end{array}
\right.
\]
我们可利用 D'Alembert 公式，求得
\[
U(x,t)=\frac{1}{2} (\Phi (x-at)+ \Phi (x+at)) + \frac{1}{2a} \int_{x-at}^{x+at} \Psi(\alpha) d\alpha
\]
为了得到原定解问题的解，我们仅需考虑 \(x\ge 0\) 的情况
我们给出下列分片定义的函数 u(x,t)，其为上述定解问题的解
\[
u(x,t) = \left\{
\begin{aligned}
\frac{1}{2} \left[ \varphi(x + at) + \varphi(x - at) \right] + \frac{1}{2a} \int_{x - at}^{x + at} \phi(\alpha) \, d\alpha, & x-at \ge 0 \\
\frac{1}{2} \left[ \varphi(x+at)-\varphi(at-x)\right]+\frac{1}{2a}\int_{at-x}^{x+at} \varphi(\alpha)d\alpha ,x-at<0
\end{aligned}
\right.
\]
如果 x=0 的一端是自由的，只需将第四式用
\[\frac{\partial u}{\partial x}|_{x=0}=0\]
代替，通过将 \(\varphi\)、\(\psi\)、\(u(x,t)\) 关于 x 作偶延拓，可用上述类似方法求解
无界弦的强迫振动
无界弦的强迫振动，可归结为求下列定解问题
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+f(x,t),(-\infty<x<+\infty,t>0) \\
u|_{t=0}=\varphi(x),(-\infty<x<+\infty) \\
\frac{\partial u}{\partial t} |_{t=0}=\psi(x),(-\infty<x<+\infty)
\end{array}
\right.
\]
推导过程 0
我们利用线性方程的叠加原理，将 \(u(x,t)\) 分解为
\[u=u_1+u_2\]
其中 \(u_1\)、\(u_2\) 分别为下列定解问题的解
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\\
u|_{t=0}=\varphi(x) \\
\frac{\partial u}{\partial t} |_{t=0}=\psi(x)
\end{array}
\right.
\]
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+f(x,t) \\
u|_{t=0}=0 \\
\frac{\partial u}{\partial t} |_{t=0}=0
\end{array}
\right.
\]
对于 \(u_1\) 我们可以直接利用 D'Alembert 公式求解，因此，我们只需讨论 \(u_2\) 的求解问题
推导过程 1：引理
如果函数 \(f(x,u)\) 及偏导数 \(f_u(x,u)\) 在矩形域 \((a\le x\le b,\alpha \le u \le \beta)\) 上连续，则
\[\varphi(u)=\int_a^u f(x,u)\mathrm{d}x\]
在 \([\alpha,\beta]\) 上可微，并且对于 \(x\in [\alpha,\beta]\) 都有
\[\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}u}=\int_\alpha^u \frac{\partial f}{\partial u}(x,u)\mathrm{d}x+f(x,u)\]
推导过程 2：Duhamel 原理
Duhamel 原理又称齐次化原理
设 \(\omega=\omega(x,t,\tau)\) 是初值问题
\[
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\partial^2 \omega}{\partial t^2}=a^2 \frac{\partial \omega}{\partial x^2} \quad (-\infty<x<+\infty,t>\tau) \\
\omega|_{t=\tau}=0 \quad(-\infty<x<+\infty) \\
\frac{\partial \omega}{\partial t}|_{t=\tau} =f(x,\tau) (-\infty<x<+\infty)
\end{aligned}
\right.
\]
的解，则
\[
u(x,t)=\int_{0}^{t} \omega(x,t,\tau)d\tau
\]
是初值问题
\[
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+f(x,t) \quad (-\infty<x<+\infty,t>0) \\
u|_{t=0}=0 \quad (-\infty<x<+\infty) \\
\frac{\partial u}{\partial t}|_{t=0}=0 \quad (-\infty<x<+\infty)
\end{aligned}
\right.
\]
的解
推导过程 3
由 Duhaml 原理，知
\[u_2(x,t)=\int_0^t \omega(x,t,\tau)\mathrm{d}\tau\]
令 \(t'=t-\tau\)，则前式可化为
\[
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\partial^2 \omega}{\partial t^{'2}}=a^2 \frac{\partial \omega}{\partial x^2} \quad (-\infty<x<+\infty,t'>0) \\
\omega|_{t'=0}=0 \quad(-\infty<x<+\infty) \\
\frac{\partial \omega}{\partial t'}|_{t'=0} =f(x,\tau) (-\infty<x<+\infty)
\end{aligned}
\right.
\]
利用 D'Alembert 公式，即可得
\[\omega(x,t,\tau)=\frac{1}{2a}\int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)}f(\xi,\tau)\mathrm{d}\tau\]
\[u_2(x,t)=\frac{1}{2a}\int_0^t \int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)}f(\xi,\tau)\mathrm{d}\tau=\frac{1}{2a}\iint_G f(\xi,\tau)\mathrm{d}\xi\mathrm{d}\tau\]
其中区域 G 为 \((\xi,\tau)\) 平面上过点 \((x,t)\) 的两条特征线与 \(\xi\) 轴所围成的三角形区域
下式为上述定解问题的解，称为一维非齐次波动方程解的 Kirchhoff 公式
\[
u(x,t)=\frac{1}{2}[\varphi(x+at) +\varphi(x-at)] +\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\varphi(\xi)d \xi + \frac{1}{2a}\iint_G f(\xi,\tau)d\xi d\tau
\]
其中区域 G 为 \((\xi,\tau)\) 平面上过点 \((x,t)\) 的两条特征线与 \(\xi\) 轴所围成的三角形区域
二维与三维波动方程的初值问题
球对称情况
一般情况
降维法及二维波动方程
解的物理意义
D'Alembert 公式的物理意义
考察一维波动方程的通解表达式
\[u(x,t)=F(x-at)+G(x-at)\]
此式表明，波动方程的解由两个波组成
\(F(x-at)\) 代表沿 x 轴向右传播的波，当 t=0 时，波形为 \(f(x)\) 而后以恒定速率 a 向右传播，保持波形不变
\(G(x+at)\) 代表沿 x 轴向左传播的波，当 t=0 时，波形为 \(g(x)\) 而后以恒定速率 a 想做传播，保持波形不变
我们称 D'Alembert 公式给出的解为行波解，在求解过程中所用的方法为行波法
依赖区域、决定区域和影响区域
在物理上，波的传播过程由清晰的前阵面和波后阵面的现象，称为惠更斯原理或无后效现象
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