Chap3 分离变量法和特殊函数 ¶
齐次边界条件的定解问题 ¶
齐次方程齐次边界条件 ¶
Note
- 设定解问题的解具有变量分离的形式，将偏微分方程转化为常微分方程
- 解本征值问题，得本征值和本征函数
- 叠加所有的特解，得到满足方程和边界条件的级数形式解
- 利用初值定出级数中的系数 PS：需要用到二阶常微分方程和傅里叶变换的知识
对于有界弦的自由振动
\[
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \quad(0<x<l,t>0)\\
u|_{x=0}=0,u|_{x=t}=0 \\
u|_{t=0}=\varphi(x),\frac{\partial u}{\partial t}|_{t=0}=\phi(x)
\end{aligned}
\right.
\]
- 分离变量
\[
u(x,t)=X(x)T(t)
\]
\[
X(x)T^{\prime\prime}(t)=a^2T(t)X^{\prime\prime}(x)
\]
\[
\frac{T^{\prime\prime}(t)}{a^2T(t)}=\frac{X^{\prime\prime}(x)}{X(x)}=-\lambda
\]
\[
X^{\prime\prime}(x)+\lambda X(x)=0
\]
\[
T^{\prime\prime}(t)+\lambda a^2 T(t)=0
\]
- 解本征值问题
\(\lambda\)<0
\[X(x)=C_1e^{\sqrt{-\lambda} x}+C_2e^{-\sqrt{-\lambda} x}\]
\(\lambda\)=0
\[
X(x)=C_1 x+C_2
\]
\(\lambda\)>0
$$ X(x)=C_1\cos \sqrt{\lambda}x+C_2 \sin\sqrt{\lambda}x $$ 3. \(u_n(x,t)\)的叠加 4. 系数\(A_n,B_n\)的确定
非齐次方程齐次边界条件 ¶
非齐次边界条件的定解问题 ¶
边界条件齐次化 ¶
周期性条件和自然边界条件 ¶
柱域中的分离变量法和 Bassel 函数 ¶
Bessel 方程的引出 ¶
Bessel 函数及其性质 ¶
球域中的分离变量法及 Legendre 多项式 ¶
Legendre 方程的引出 ¶
Legendre 多项式 ¶
本征值理论 ¶
Sturm-Liouville 边值问题 ¶
本征函数的正交性 ¶
展开定理 ¶
奇异的本征值问题 ¶
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