Chap3 分离变量法和特殊函数 ¶
齐次边界条件的定解问题 ¶
齐次方程齐次边界条件 ¶
Tip
-
设定解问题的解具有变量分离的形式，将偏微分方程转化为常微分方程
-
解本征值问题，得本征值和本征函数
-
叠加所有的特解，得到满足方程和边界条件的级数形式解
-
利用初值定出级数中的系数
PS：需要用到二阶常微分方程和傅里叶变换的知识
Question
有界弦的自由振动
\[
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \quad(0<x<l,t>0)\\
u|_{x=0}=0,u|_{x=t}=0 \\
u|_{t=0}=\varphi(x),\frac{\partial u}{\partial t}|_{t=0}=\phi(x)
\end{aligned}
\right.
\]
Note
- 分离变量
\[
u(x,t)=X(x)T(t)
\]
\[
X(x)T^{\prime\prime}(t)=a^2T(t)X^{\prime\prime}(x)
\]
\[
\frac{T^{\prime\prime}(t)}{a^2T(t)}=\frac{X^{\prime\prime}(x)}{X(x)}=-\lambda
\]
\[
X^{\prime\prime}(x)+\lambda X(x)=0
\]
\[
T^{\prime\prime}(t)+\lambda a^2 T(t)=0
\]
- 解本征值问题
\(\lambda\)<0
\[X(x)=C_1e^{\sqrt{-\lambda} x}+C_2e^{-\sqrt{-\lambda} x}\]
\(\lambda\)=0
\[
X(x)=C_1 x+C_2
\]
\(\lambda\)>0
\[
X(x)=C_1\cos \sqrt{\lambda}x+C_2 \sin\sqrt{\lambda}x
\]
-
\(u_n(x,t)\) 的叠加
-
系数 \(A_n,B_n\) 的确定
非齐次方程齐次边界条件 ¶
非齐次边界条件的定解问题 ¶
边界条件齐次化 ¶
周期性条件和自然边界条件 ¶
Question
设有半径为 1 的圆形薄板，上、下侧面绝热，圆周上的温度分布已知，求圆内的温度分布，其定解问题为
\[
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u=0,(x^+y^2<1>) \\
u|_{\partial \Omega}=\phi(x,y),(x^2+y^2=1)
\end{aligned}\right.\]
Note
- 自变量变换
\[\left\{
\begin{aligned}
x=r\cos\theta \\
y=r\sin \theta
\end{aligned}
\right.\]
将定解问题化为
\[\left\{
\begin{aligned}
\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}=0
\quad(0\le r<1,0\le \theta<2\pi) \\
u(1,\theta)=\phi(\theta)
\quad (0\le \theta <2\pi)
\end{aligned}
\right.\]
- 分离变量
令 \(u(r,\theta)=R(r)\Phi(\theta)\)
\[\Phi^{\prime\prime}(\theta)+\lambda\Phi(\theta)=0\]
\[r^2R^{\prime\prime}(r)+rR^{\prime}(r)-\lambda R(r)=0\]
- 自然的周期性条件，构成本征值问题
\[\left\{
\begin{aligned}
\Phi^{\prime\prime}+\lambda \Phi=0 \\
\Phi(\theta)=\Phi(\theta+2\pi)
\end{aligned}\right.\]
自然的边界条件
\[\left\{\begin{aligned}
r^2R^{\prime\prime}+rR^{\prime}-\lambda R=0 \\
|R(0)|<\infty\end{aligned}\right.\]
- 解本征值问题
本征值 \(\lambda+n =n^2\quad (n=0,1,2)\)
本征函数 \(\Phi_n =c_n\cos n\theta+d_n \sin n\theta\)
代入上式，Euler 方程的通解为
\[R_0(r)=a_0+b_0 ln r\]
\[R_n(r)=a_nr^n+b_n r^{-n} (n=1,2,...)\]
柱域中的分离变量法和 Bassel 函数 ¶
Bessel 方程的引出 ¶
Bessel 函数及其性质 ¶
球域中的分离变量法及 Legendre 多项式 ¶
Legendre 方程的引出 ¶
Legendre 多项式 ¶
本征值理论 ¶
Sturm-Liouville 边值问题 ¶
本征函数的正交性 ¶
展开定理 ¶
奇异的本征值问题 ¶
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