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Chap4 积分变换法

Fourier 变换及其性质

Fourier 变换的形式导出及它的定义

Fourier 变换

\[g(\lambda)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\lambda t}dt\]

Fourier 变换的逆变换

\[F^{-1}[g]=\frac{1}{2\pi} g(\lambda)e^{i\lambda x}d\lambda\]

反演公式

\[F^{-1}[F[f]]=f(x)\]

Fourier 变换的基本性质

  1. 线性性质

\(\(F[\alpha_1 f_1 +\alpha_2 f_2]=\alpha_1 F[f_1\)+\alpha_2 F[f_2\)

  1. 微分性质

若 \(\lim_{|x|\rightarrow +\infty}=0\)，则

\[F[f^{\prime}(x)]=i\lambda F[f(x)]\]

若 \(\lim_{|x|\rightarrow +\infty} f^{(k)}(x)=0 \quad k=0,1,2...,n-1\)，则

\[F[f^{n}(x)]=(i\lambda)^n F(f)\]

利用该性质以及线性性质，关于 x 作 Flourier 变换，可将常系数线性偏微分方程化为常微分方程

  1. 卷积性质
\[f_1 * f_2(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x-t)f_2(t)dt\]
\[F[f_1 * f_2(x)]=F[f_1]\cdot F[f_2]\]
\[F[f_1 \cdot f_2]=\frac{1}{2\pi}F[f_1] * f[f_2]\]
  1. 平移性质
\[F[f(x-a)] =e^{-i\lambda a}F[f]\]
\[F[e^{iax}f(x)]=F[f](\lambda-a)\]
  1. 伸缩性质
\[F[f(kx)]=\frac{1}{|k|}F[f](\frac{\lambda}{k})\]
  1. 乘子性质
\[F[x^mf(x)]=i^m \frac{d^m}{d \lambda^m}F[f](\lambda)\]

\(\delta\) 函数及它的 Fourier 变换

\[F[\delta(x)]=1\]
\[F[1]=2\pi\delta(\lambda)\]

Fourier 变换在求解偏微分方程初值问题中的应用

一维热传导方程的初值问题

一维波动方程的初值问题

应用 Fourier 变换求解边值问题

Laplace 变换及其性质

Laplace 变换的形式推导

  1. 线性性质

  2. 微分性质

  3. 卷积性质

  4. 伸缩性质

  5. 平移性质

  6. 乘子性质

存在定理

Laplace 变换的基本性质

Laplace 变换在求解偏微分方程定解问题中的应用

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