Chap3 扭转 ¶
纯剪切 ¶
\[\gamma=\frac{r\phi}{l}\]
其中，\(\gamma\) 为倾角，\(\phi\) 为扭转角
剪切胡克定律
\[\tau=G\gamma\]
\[G=\frac{E}{2(1+\mu)}\]
G 称为切变模量
圆轴扭转时的应力 ¶
扭矩口诀：顺上逆下（从右向左看）
切应力公式
\[\tau=\frac{T \rho}{I_p}\]
极惯性矩：面积的分散程度
\[I_p=\int_A \rho^2 dA\]
最大扭转切应力
\[r_{\max}=\frac{T \rho_{\max}}{I_p}=\frac{T}{W_p}\]
| 形状 | \(I_p\) | \(W_p\) |
|---|---|---|
| 实心 | \(\frac{\pi D^4}{32}\) | \(\frac{\pi D^3}{16}\) |
| 空心 | \(\frac{\pi D^4(1-\alpha^4)}{32}\) | \(\frac{\pi D^3(1-\alpha^4)}{16}\) |
| 薄壁 | \(2\pi R^3 t\) | \(2\pi R^2 t\) |
\(W_t\) 称为抗扭截面系数
圆轴扭转时的变形 ¶
扭转角公式
\[\varphi = \frac{Tl}{GI_p}\]
单位长度的扭转角
\[\varphi^`=\frac{ T}{GI_P}\]
\[G=\frac{E}{2(1+\mu)}\]
\(GI_p\) 称为抗扭刚度
非圆截面杆扭转的概念 ¶
对于矩形截面杆的扭转，最大切应力发生在矩形长边的中点
\[\tau_{\max}=\frac{T}{\alpha hb^2}\]
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