Chap7 应力和应变分析 强度理论
应力状态概述
主应力状态：没有切应力存在
切应力等于零的面称为主平面；主平面上的正应力称为主应力
通过受力构件的任意点都可找到三个相互垂置的主平面，因而每一点都有三个主应力
三个主应力中只有一个不等于零，称为单向应力状态；若三个主应力有两个不等于零，称为二向应力状态；若三个主应力均不等于零，称为三向应力状态
二向和三向应力状态的实例
二向应力状态分析——解析法
斜截面应力公式
\[\sigma_{\alpha}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\alpha-\tau_{xy}\sin 2\alpha\]
\[\tau_{\alpha}=\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin 2\alpha + \tau_{xy}\cos 2\alpha\]
最大 / 最小正应力公式
\[
\left.
\begin{aligned}
\sigma_{\max} \\
\sigma_{\min}
\end{aligned}
\right\}
= \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}
\]
主应力方位角公式
\[\tan 2\alpha =\frac{-2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}\]
最大 / 最小切应力公式
\[\left.\begin{aligned}\tau_{\max} \\ \tau_{\min} \end{aligned}\right\}=\pm \sqrt{(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2})^2+\tau_{xy}^2}=\pm \frac{\sigma_{\max}-\sigma_{\min}}{2}\]
PS：正应力拉应力为正，切应力绕中心顺时针为正；角度选取，\(\sigma_x>\sigma_y\)，取绝对值小的角度；\(\sigma_x<\sigma_y\)，取绝对值大的角度
二向应力状态分析——图解法
\(\sigma_max\) 即为 \(OA_1\)，\(\sigma_min\) 即为 \(OB_1\)
半径即为最大切应力
广义胡克定律
任意方向形变公式
\[\varepsilon_\alpha =\frac{1}{E}(\sigma_\alpha-\mu \sigma_{\alpha \pm 90\degree})\]
PS：\(\tau_{xy}\) 与扭矩图同正负
四种常用强度理论
Note
最大拉应力理论（第一强度理论）：\(\(\sigma_{r1}=\sigma_1 \le [\sigma]\)\)
最大伸长线应变理论（第二强度理论）：\(\(\sigma_{r2}=\sigma_1-\mu (\sigma_2+\sigma_3)\le [\sigma]\)\)
最大切应力理论（第三强度理论）：\(\(\sigma_{r3}=\sigma_1-\sigma_3\le[\sigma]\)\)
最大畸变能密度理论（第四强度理论）：\(\(\sigma_{r4}=\sqrt{\frac{1}{2}[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_1-\sigma_3)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2]}\le [\sigma]\)\)
PS：第一、第二适用于脆性材料，第三、第四适用于塑性材料
构件含裂纹时的断裂准则
应力强度因子
\[K_1=\sigma\sqrt{\pi a}\]
失稳扩展
\[K_1=K_{1e}\]
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