Chap2 力系，其描述与简化 ¶

输入（作用）决定着系统（质点系）的输出（运动）。经验表明，无论作用形式如何，输入都可以统一地抽象成力系来处理。力系引起自由质点系的运动和质点间的相互作用（内力）；引起约束质点系的运动、质点间的相互作用（内 力）和外部约束力。所有这些统称为力系的作用效应。

对于受约束的刚体，力系引起运动（刚性运动）、内力和外部约束力；对于受约束的可变形体，力系引起运动（刚性运动 + 局部变形）、内力和外部约束力。我们称刚性运动和外部约束力为力系的外效应，称局部变形和内力为力系的内效应。

研究刚体时，只需关注力系的外效应：即刚性运动和外部约束力。

力系简化的基本问题是：给定作用于刚体上的力系，找出最简等效力系。

力，力矢，力矩矢 ¶

力矢 ¶

力可用矢量描述，称为力矢。力矢是定位矢量，其标记应包括“矢量符号”和“作用点（或作用点的矢径）”，即 \((\boldsymbol{F},A)\) 或 \((\boldsymbol{F},\boldsymbol{r})\)。

平行四边形（多边形）法则是最简力系的简化规则，它由一个力等效一组共点力，或者说，一组共点力合成为一个力，这个力称为原力系的合力。

力系，即一组力。定义力系的主矢量（简称主矢）为力系中各力矢的矢量和，即，

主矢为自由矢量。

力矩矢 ¶

力对点之矩定义为矢量叉积，

力对点之矩为定位矢量。力矩矢用双箭头表示。

力对轴之矩定义为：力向垂直于该轴的某平面投影，之后对平面和轴的交点取矩，所得之矩与该轴同向取正，反向取负。力对轴之矩是代数量。

力对两个不同点之矩有如下关系，

若 \(OA\) 与 \(\boldsymbol{F}\) 平行，则有 \(\boldsymbol{M}_O(\boldsymbol{F})=\boldsymbol{M}_A (\boldsymbol{F})\)。

定义力系对一点之矩（称为主矩矢量，简称主矩）为力系中各力对该点之矩的矢量和，即，

主矩为定位矢量。

定义力系对轴之矩为：力系中各力对轴之矩的代数和，即 \(\sum_i M_z(\boldsymbol{F}_i)\)。

力系对两个不同点的主矩有如下关系，

将力矩关系定理从单力推广到力系，可知：力系对轴之矩等于力系对轴上任一点之矩（对该点的主矩）在该轴上的投影。因此，力系对一点的主矩为零，当且仅当力系对过该点的三根不共面的轴之矩分别为零。

刚体上力系的等效变换公理 ¶

由此，可将平行四边形（多边形）法则从共点力系推广到汇交力系。所谓汇交力系，即各力的作用线汇交于一点的力系。将汇交力系中各力滑移至汇交点，之后合成为单个力（即汇交力系的合力）。又注意到，力的滑移不改变力对点之矩，可将合力矩定理从共点力系推广到汇交力系，即汇交力系的合力对一点之矩等于各力对该点之矩的矢量和。

力偶、力偶矩矢 ¶

作用于单刚体上的一对等值、反向、不共线的力，称为力偶，记为 \((\boldsymbol{F},\boldsymbol{F'})\)。力偶由构成力偶的两个力对一点的主矩来度量，称为力偶矩矢；其值相等，则外效应相同。

力偶的两个力对一点的主矩为，

力偶对任一点的主矩都相同，因此，力偶矩矢是自由矢量，记作 \(\boldsymbol{M}(\boldsymbol{F},\boldsymbol{F'})\)。

力偶对轴之矩等于力偶矩矢在该轴上的投影。

我们可采用三种方式标示力偶（图 2.3.3）：一对力——无需明确力值和力臂；一个有向圆弧——指明方位、转向和大小；一个矢量——力偶矩矢由力矩定义，用双箭头标示。

刚体上力系的简化 ¶

考察刚体上一般力系的简化问题，任选刚体上一点 \(O\)（称为简化中心），将各力向该点搬移，从而得到一个共点力系和一个力偶系。共点力系合成为一个单力，力偶系合成为一个单力偶。

该单力的力矢等于力系主矢，该单力偶的力偶矩矢等于力系对该简化中心的主矩。但要注意，力矢为滑移矢量而主矢为自由矢量，力偶矩矢为自由矢量而主矩为定位矢量。将力系向不同点简化，所得单力的力矢总是相等的，而所得单力偶的力偶矩矢一般不同。

可以将适用于共点力系和汇交力系的合力矩定理推广到存在合力的任意力系。若一个力系存在合力，即该力系与一个单力（合力）等效，那么，该力系对任一点的主矩（即该力系对点之矩的矢量和）等于单力（合力）对该点之矩。

力系简化的最简形式有四种：无、合力、合力偶、力螺旋。

重力是最重要的同向平行力系。重心为

给出质点系的质心和几何图形的形心位置定义，

重心是对刚体定义的，是刚体上的一个物质点，是最简等效力系（合力）的作用点；质心是对质点系定义的，是一个空间点，其意义将在动力学中表现出来；形心是对几何体定义的，是一个几何点，只具有几何意义。

如果刚体的体积不大，重力加速度 \(g\) 可视为常数，此时刚体的重心和质心位置重合。进一步地，如果刚体密度均匀，即 \(\rho\) 为常数，此时刚体的三心合一。

计算几何图形形心的方法有组合法和负体积法。

约束的反力效应 ¶

约束引起的力称为约束力或约束反力。

约束的反力效应 ¶

接触式约束 ¶

铰联式约束 ¶

固定式约束 ¶

滑移式约束 ¶

连杆式约束 ¶

总结之，约束限制刚体的运动。在矢量力学框架下，约束通过约束力起作用。约束限制一个运动就相应于一个约束力，约束减小的独立描述坐标数目恰等于约束力的个数。

我们指出，上述讨论中均忽略了销钉、可动支座、连杆以及套筒的质量。换言之，在运动学中将之视为运动连接件，在受力分析中将之视为力传递件，均未视作一个目标对象来看待。

物系的受力分析 ¶

受力分析具体而言，选取研究对象，取之为隔离体（或自由体）；施加外加力，在解除约束处施加约束反力，从而得到受力图。受力分析构成了矢量力学的分析基础。

对于一个不受约束的单刚体（即自由刚体），直接施加外加力即可。对于一个受约束的单刚体（即约束刚体），隔离之成为自由刚体，施加外加力并在解除约束处施加约束反力。对于一个受约束的刚体系（常称为物体系，简称物系），隔离每个单刚体使之成为自由刚体，施加外加力并在解除约束处施加约束反力。约束反力的方位及个数由约束类型确定。

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