Chap5 数学间奏——从函数到泛函，从微分到变分
函数概念与微分运算
驻值问题
函数是指变量与变量之间的依赖关系。自变量的任意无穷小变动称为自变量的微分，记为 \(\mathrm{d}x\)
在某一点 \(x^*\) 处，如果自变量的任意微分引起的函数引起的函数微分恒等于零，即，
\[\mathrm{d}y|_{x^*}=0,\forall \mathrm{d}x\]
那么，该点称为函数的驻值点。求解函数驻值点的问题称为函数驻值问题。易知，驻值点满足方程，
\[f^(x^*)=0\]
多元函数记作，
\[y=f(x_1,...x_n)\]
多元函数的微分记为 \(\mathrm{d}y\) 或 \(\mathrm{d}f(x_1,..,x_n)\)，我们有，
\[\mathrm{d}y=\mathrm{d}f(x_1,...,x)=\frac{\partial f}{\partial x_1}\mathrm{d}x_1+...+\frac{\partial f}{\partial x_n}\mathrm{d}x_n\]
多元函数的驻值点满足方程组，
\[\frac{\partial f(x_1^*,...,x_n^*)}{\partial x_1}=0,...,\frac{\partial f(x_1^*,...,x_n^*)}{\partial x_n}=0\]
设多个自变量 \(x_1,...,x_n\) 之间受到如下等式约束，
\[g(x_1,...,x_n)=0\]
从满足等式的一点出发，自变量发生微分后的点仍要满足该等式，也即，
\[g(x_1+\mathrm{d}x_1,...,x_n+\mathrm{d}x_n)=0\]
于是知，自变量微分受如下等式限制
\[\frac{\partial g}{\partial x_1}\mathrm{d}x_1+...+\frac{\partial g}{\partial x_n}\mathrm{d}x_n=0\]
这 \(n\) 个自变量中只有 \(n-1\) 个可以独立微分
我们可以解出其中 1 个微分如 \(\mathrm{d}x_1\)，即有，
\[\mathrm{d}x_1=-\frac{\frac{\partial g}{\partial x_2}}{\frac{\partial g}{\partial x_1}}\mathrm{d}x_2...-\frac{\frac{\partial g}{\partial x_n}}{\frac{\partial g}{\partial x_1}}\mathrm{d}x_n\]
考虑有约束的多元函数驻值问题，有如下三种方法
泛函概念与变分运算
泛函概念
泛函是指函数（或变数）与函数之间的依赖关系。若函数（或变数）z 依赖于函数 y(x)，则称函数 y(x) 为自变函数；称函数（或变数）z 是泛函，或称函数
（或变数）z是自变函数y(x)的泛函，记作，
\[z=J[y(x),x]\]
最速降线问题
在重力场中，质点沿通过给定两点 A、B 的平面光滑刚性曲线下落，初速度为零。试求下落时间与曲线的关系
曲线记为 \(y=y(x)\)，由机械能守恒定律知，
\[\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\sqrt{2gy}\]
式中，弧长微元 \(\mathrm{d}s=\sqrt{1+y^{'2}}\mathrm{d}x\)，于是有
\[\mathrm{d}t=\frac{\sqrt{1+y^{'2'}}}{\sqrt{2gy}}\mathrm{d}x\]
质点从 A 运动到 B 的时间为，
\[T=J[y(x)]=\int_0^{x_1}\frac{\sqrt{1+y^{'2'}}}{\sqrt{2gy}}\mathrm{d}x\]
由此知，下落时间 \(T\) 为函数 \(y(x)\) 的泛函
通过积分构造的泛函称为积分泛函。一般地，积分可写成，
\[z=J[y(x),x]=\int_{x_0}^{x_1} f(x,y,y')\mathrm{d}x\]
变分运算
自变函数的任意无穷小变动称为自变函数的变分，记为 \(\delta y(x)\)
自变函数的变分导致泛函改变，改变的主部称为泛函的变分，记为 \(\delta z\) 或 \(\delta J[y(x),x]\)
函数值泛函的变分是一个无穷小函数，依赖于自变函数和自变函数的变分；函数值泛函的变分在某处的值，依赖于自变函数在该处的值和自变函数的变分在该处的值。变数值泛函的变分是一个无穷小量，依赖于自变函数和自变函数的变分
泛函驻值问题
考察积分泛函 \(z=J[y(x),x]=\int_{x_0}^{x_1} f(x,y,y')\mathrm{d}x\)。在某一函数 \(y^*(x)\) 处，如果自变函数的任意变分引起的积分泛函变分恒等于零，即，
\[\delta z|_{y^*(x)}=0\]
那么，该函数称为积分泛函的驻值函数，求解泛函驻值函数的问题称为泛函驻值问题
变分引理
设 \(f(x)\) 是定义在 \((x_0,x_1)\) 上的连续函数，若对于任意连续函数 \(\xi(x)\) 都有，
\[\int_{x_0}^{x_1} f(x)\xi(x)\mathrm{d}x=0\]
则有，
\[f(x)=0,x \in(x_0,x_1)\]
证明
采用反证法。不妨假设存在 \(\tilde{d} \in (x_0,x_1)\)，使得 \(f(\tilde{x})>0\)。由连续性可知，存在一个小量 \(\varepsilon >0\)，使得，
\[f(x)>0,x\in (\tilde{x}-\varepsilon,\tilde{x}+\varepsilon) \subset(x_0,x_1) \]
取如下连续函数 \(\xi(x)\)，
\[\xi(x)=\left\{\begin{aligned} \frac{x-(\tilde{x}-\varepsilon)}{\varepsilon} ,x \in (\tilde{x}-\varepsilon,\tilde{x}] \\ \frac{(\tilde{x}+\varepsilon)-x}{\varepsilon},x\in [\tilde{x},\tilde{x}+\varepsilon) \\ 0 , x\in (x_0 ,\tilde{x}-\varepsilon)\quad or \quad x \in (\tilde{x}+\varepsilon,x_1) \end{aligned}\right.\]
则有 \(\int_{x_0}^{x_1}f(x)\xi(x)\mathrm{d}x>0\)，矛盾
由于 \(\delta y|_{x_0}=0,\delta y|_{x_1}=0\)，变分等式化为，
\[\delta z=\int_{x_0}^{x_1} [\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\partial f}{\partial y'})]\delta y\mathrm{d}x=0\]
由变分引理知，
\[\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\partial f}{\partial y'})=0,x \in(x_0,x_1)\]
上式是关于函数 y(x) 的二阶微分方程，结合两个边界条件 \(y(x_0)=y_0\) 和 \(y(x_1)=y_1\) 可以完全定解
最速降线问题
给出最速降线满足的微分方程和边界条件
最速降线问题化为积分泛函驻值问题，且边界条件给定。被积函数为，
\[f(x,y,y')=\frac{\sqrt{1+y^{'2}}}{\sqrt{2gy}}\]
相应的微分方程为，
\[\frac{\sqrt{1+y^{'2}}}{2y\sqrt{y}}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[\frac{y'}{\sqrt{y(1+y^{'2})}}]=0\]
结合边界条件可以定解
多个自变函数的泛函
多个自变函数的泛函记作，
\[z=J[y_1(x),...y_n(x),x]\]
数学约束
考虑有约束的积分泛函驻值问题
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