Chap8 分析力学之动力学
分析动力学的基本问题是：给定约束质点系（或机构），给定主动力系，确定运动全过程
达朗贝尔 - 拉格朗日原理
达朗贝尔 - 拉格朗日原理
达朗贝尔 - 拉格朗日原理（一般形式）：双边、理想约束系统，在任一时刻，主动力与惯性力在真实位置的任意虚位移上的虚功之和为零。即，
\[\boxed{\sum_{i=1}^N \bar{\delta}W_{F_i}+\sum \bar{\delta}W_{F_{Ii}}=\sum_{i=1}^N (\bm{F}_i-m_i\bm{a}_i)\cdot \delta \bm{r}_i=0}\]
或写成，
\[\sum_{i=1}^N (F_{xi}-m_i\ddot{x_i})\delta x_i+(F_{yi}-m_i\ddot{y_i})\delta y_i +(F_{zi}-m_i\ddot{z_i})\delta z_i=0\]
上式称为动力学普遍方程或动力虚功方程
哈密顿原理
达朗贝尔 - 拉格朗日原理属于微分变分原理，它给出了在某一时刻，从所有的可能运动中区分出真实运动的准则。这里，我们转入积分变分原理。积分变分原理不是给出某一时刻真实运动的判据，而是给出在某一有限时段内真实运动的判据
\[\int_{t_0}^{t_1} \delta T+\bar{\delta}W\mathrm{d}t=0\]
上式表明，对于双边、理想、完整约束系统，在始末位形确定的有限时段中，真实运动使动能的变分和主动力虚功在该时段内的积分为零——这就是哈密顿原理的一般形式
\[\int_{t_0}^{t_1}\delta T(q_1,...,q_n,\dot{q_1},...,\dot{q_n},t)+\sum_{j=1}^n F_{Q_j}(q_1,...,q_n,t)\delta q_j \mathrm{d}t=0\]
这就是哈密顿原理的广义坐标形式
定义拉格朗日量或拉格朗日函数，
\[L(q_1,...q_n,\dot{q_1},...,\dot{q_n},t)=T(q_1,...,q_n,\dot{q_1},...,\dot{q_n},t)-V(q_1,...,q_n,t)\]
以及哈密顿作用量，
\[S=\int_{t_0}^{t_1} L\mathrm{d}t\]
其中，拉格朗日量是动能与势能之差，而哈密顿作用量是拉格朗日量在有限时段中的累积量
总结之，对于双边、理想、完整约束的有势系统，在始末位形确定的有限时段中，真实运动使哈密顿作用量取驻值。这就是有势情形的哈密顿原理。可以证明，如果初始时刻和末了时刻足够接近，真实运动使哈密顿作用量取极小值
拉格朗日方程
如果主动力有势，哈密顿原理的广义坐标形式化为端点确定的积分泛函 S 的驻值问题，即，
\[\delta S=\delta \int_{t_1}^{t_2} L\mathrm{d}t=0\]
于是得，
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j})-\frac{\partial L}{\partial q_j}=0\]
上式称为第二类拉格朗日方程，简称拉格朗日方程
哈密顿方程
勒让德变换
考虑关于变量 \(x_1,x_2,...x_n\) 的函数 \(X=X(x_1,x_2,...,x_n;\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m)\)，其中 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\) 为参数。设函数 \(X\) 对于变量 \(x_1,x_2,...,x_n\) 的 Hess 式不等于零，即 \(\text{det}[\frac{\partial^2 X}{\partial x_i \partial x_j}]\ne 0\)。根据下式规定一个由变量 \(x_1,x_2,...,x_n\) 到另一组变量 \(y_1,y_2,...,y_n\) 的变换，
\[y_i=\frac{\partial X}{\partial x_i},i=1,2,...,n\]
这一变换称为由函数 \(X\) 生成的勒让德变换
定义哈密顿量或哈密顿函数，
\[H=H(q_1q_2,...,q_n,p_1,p_2,...,p_n,t)\\=[\sum_{i=1}^n\dot{q}_ip_i-T(q_1,...,q_n,\dot{q}_1,...,\dot{q}_n,t)]|_{\dot{q}_i \rightarrow \dot{q}_i(q_1,...,q_n,p_1,...p_n,t)}\]
于是有，
\[\dot{q}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},\dot{p}_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}+F_{Q_i}\quad i=1,2,...n\]
上述一阶微分方程组称为哈密顿方程
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