电磁学篇 ¶

Note

本篇是大学物理（甲）电磁学篇的 CheetSheet。

电磁学部分概念众多、关系复杂，需要认真理解。同时需要大量运用微积分知识，需要一定的数学基础。

笔者在大学物理补天基本依靠 [SAVIA 前辈的大学物理讲义 ]，在此特别感谢作者 SAVIA。

Chap9 真空中的静电场 ¶

电荷库伦定律 ¶

库伦定律

\[ \bm{F}_{21}=k\frac{q_1 q_2}{r_{12}^2}\bm{e}_{12} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q_1 q_2}{r_{12}^2}\bf{e}_{12} \]

\[k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=9×10^9N·m^2/C^2\]

真空中的介电常量

\[\varepsilon_0=8.85×10^{-12}C^2/(N·m^2/C^2)\]

电力叠加原理

\[\bm{F}_1=\bm{F}_{12}+\bm{F}_{13}+...+\bm{F}_{1n}=\sum_{i=2}^{n}\bm{F}_{1i}=\sum_{i=2}^{N}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q_1 q_i}{r_{1i}^{2}}\bm{e}_{1i}\]

电场电场强度 ¶

场强定义

\[\bm{E}=\frac{\bm{F}}{q_0}\]

场强叠加原理

\[\bm{E}_1=\bm{E}_{12}+\bm{E}_{13}+...+\bm{E}_{1n}=\sum_{i=2}^{n}\bm{E}_{1i}=\sum_{i=2}^{N}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q_i}{r_{1i}^{2}}\bm{e}_{1i}\]

\[\bm{E}=\int d\bm{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int_V \frac{dq}{r^2}\bm{e}_r\]

Hint

一对等量异号点电荷 $+q$ 和 $-q$，相距为 $l$。当从观察点到两电荷连线的距离 $x \gg l$ 时，则这一对点电荷称 ** 电偶极子 **。定义**电偶极矩**$\bm{p}_e=q\bm{l}$，$\bm{l}$的方向由负电荷只想正电荷。则电偶极子中垂线上一点$P$的场强$\bm{E}=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\bm{p}_e}{x^3}$。

均匀带电圆环

$\(E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0z^2}$\) $z$为圆环轴线上一点$P$与环心的距离。

均匀带电薄圆盘

若 $z \ll R$，圆盘可视为无限大均匀带电平面 $\(E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$\)

若 $z\gg R$，近似等于点电荷的电场 $\(E=\frac{\sigma R^2}{4\varepsilon_0z^2}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0z^2}$\)

均匀带电细直线

\[E_x=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0a}(sin\theta_2-sin\theta_1)\]

\[E_y=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0a}(cos\theta_1-cos\theta_2)\]

$a$ 为线外一点 $P$ 到直线的垂直距离

若 $L \gg a$，可视为无限长，则有 $\(E_x=0, E_y=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0a}$\)

电场线电通量 ¶

电通量

\[\Phi_c=\int d\Phi_c=\int_sEcos\theta dS=\int_s \bm{E}\cdot d\bm{S}\]

高斯定理及其应用 ¶

高斯定理

\[\Phi_c=\oint\bm{E}\cdot d\bm{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum_iq_i\]

均匀带电球面

$r>R$ $\(\bm{E}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\bm{e}_r$\)

$r<R$ $\(E=0$\)

均匀带电球体

$r>R$ $\(E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$\)

$r>R$ $\(E=\frac{Qr}{4\pi\epsilon_0 R^3}$\)

静电场的环路定理 ¶

电势 ¶

电场强度与电势的关系 ¶

Ghap10 静电场中的导体和电介质 ¶

静电场中的金属导体 ¶

导体表面场强

\[E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\]

电容电容器 ¶

孤立导体电容

\[C=\frac{Q}{U}\]

孤立导体球电容

\[C=4\pi\varepsilon_0 R\]

电容器电容

\[C=\frac{Q}{U_A-U_B}\]

平行板电容器

\[C=\varepsilon_0\frac{S}{d}\]

圆柱形电容器

\[C=\frac{2\pi\varepsilon_0 l}{ln\frac{R_B}{R_A}}\]

球形电容器

\[C=\frac{4\pi\varepsilon_0R_AR_B}{R_B-R_A}\]

静电场中的电介质 ¶

极化强度

$\(\bm{P}=\varepsilon_0\chi_e\bm{E}$\) $\bm{P}$：极化强度 $\chi_e$：电极化率

电介质中静电场的基本定理 ¶

Abstract

利用介质中的高斯定理求出 D
利用 P、D、E 的关系求出 E
利用 E 求出 U
求出 C 等其他物理量

电介质场强

\[\bm{E}=\bm{E_0}+\bm{E}^\prime\]

$\bm{E}_0$ 和 $\bm{E}^\prime$ 方向相反 $\(\sigma^\prime=\sigma_0(1-\frac{1}{\varepsilon_r})$\) $\sigma^\prime$：电介质表面极化电荷面密度 $\sigma_0$：电容器极板自由电荷面密度

电位移

\[\bm{D}=\varepsilon_0\bm{E}+\bm{P}\]

介质中的高斯定理

\[\oint\bm{D}\cdot d\bm{S}=\sum q_0\]

$\bm{P}$、$\bm{D}$、$\bm{E}$ 的关系 $\(\bm{D}=\varepsilon_0\bm{E}+\bm{P}=(1+\chi_e)\varepsilon_0\bm{E}=\varepsilon_r \varepsilon_e\bm{E}=\varepsilon \bm{E}$\) $\varepsilon$：介电常数/电容率

静电场的能量 ¶

点电荷的相互作用能

\[W=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}q_iU_i\]

电容器的能量

\[W=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}=\frac{1}{2}Q(U_A-U_B)=\frac{1}{2}C(U_A-U_B)^2\]

电场能量

\[W=\frac{1}{2}C(U_A-U_B)^2=\frac{1}{2}\varepsilon E^2V\]

\[W=\int_V dW=\int\frac{1}{2}\varepsilon E^2dV\]

电能密度

\[w_e=\frac{W}{V}=\frac{1}{2}\varepsilon E^2=\frac{1}{2}DE\]

Chap11 稳恒电流 ¶

稳恒电流 ¶

电密度矢量

\[j=\frac{dI}{dS}\]

电流强度

\[I=\int_S j\cdot dScos\theta=\int_S \bm{j}\cdot d\bm{S}\]

电流连续性方程

\[\oint_s \bm{j}\cdot d\bm{S}=-\frac{dq}{dt}\]

电流稳恒条件

\[\oint_s \bm{j}\cdot d\bm{S}=0\]

欧姆定律和焦耳定律的微分形式 ¶

欧姆定律微分形式

\[\bm{j}=\gamma\bm{E}\]

焦耳定律微分形式

\[\mathscr{w}=\frac{\Delta P}{\Delta V}=\gamma E^2\]

电动势 ¶

电动势

\[\mathscr{E}=\frac{A_k}{q}=\int_{-}^{+}\bm{E}_k\cdot d\bm{l}=\oint\bm{E}_k\cdot d\bm{l}\]

电源内部电荷分布规律

\[\bm{j}=\gamma(\bm{E}_0+\bm{E}_k)\]

含源电路的欧姆定律

\[U_B-U_A=\sum \mathscr{E}-\sum IR\]

Chap12 稳恒磁场 ¶

磁场磁感应强度 ¶

洛伦兹力

\[\bm{F}=\bm{qv}\times \bm{B}\]

洛伦兹关系式

\[\bm{F}=q\bm{E}+\bm{qv}\times \bm{B}\]

毕奥 - 萨伐尔定律 ¶

毕奥 - 萨伐尔定律

\[d\bm{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\bm{l}\times\bm{r}}{r^3}$$ $$\bm{B}=\int dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{Id\bm{l}\times \bm{r}}{r^3}\]

长直载流导线

\[B=\frac{\mu_0 I}{4\pi a}(cos\theta_1-cos\theta_2)\]

无限长直导线

\[B=\frac{\mu_0I}{2\pi a}\]

半无限长直导线

\[B=\frac{\mu_0 I}{4\pi a}\]

载流圆线圈

$\(B=\frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2+x^2)^{3/2}}$\) 圆电流圆心处

\[B=\frac{\mu_0NI}{2R}\]

在轴线上且远离线圈各点

\[B=\frac{\mu_0IR^2}{2x^3}=\frac{\mu_0IS}{2\pi x^3}\]

磁偶极子

引入磁矩描述载流线圈。 $\(\bm{p}_m=NIS\bm{e}_n$\) $\(\bm{B}=\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{\bm{p}_m}{x^3}$\)

载流螺线管 螺线管无限长

\[B=\mu_0nI\]

长直螺线管端点

\[B=\frac{1}{2}\mu_0nI\]

无限长均匀载流薄铜片

\[B=\frac{\mu_0 I}{\pi a}arctan\frac{a}{2y}\]

若 $P$ 点距薄铜片很远

\[B=\frac{\mu_0 I}{2\pi y}\]

运动电荷磁场

\[\bm{B}=\frac{dB}{dN}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\bm{v}\cdot \bm{r}}{r^3}\]

磁场的高斯定理安培环路定律 ¶

磁场的高斯定理

\[\Phi_m=\oint_s\bm{B}\cdot d\bm{S}=0 \]

无限长载流圆柱体

$r>R$

\[B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\]

$r<R$

\[B=\frac{\mu_0 I}{2\pi R^2}r\]

载流螺绕环

螺绕环内

\[B=\frac{\mu_0 NI}{2\pi R}=\mu_0nI\]

螺绕环外

\[B=0\]

长直载流螺线管

\[B=\mu_0nI\]

磁场对电流的作用 ¶

安培公式

\[d\bm{F}=Id\bm{l} \times \bm{B}\]

磁力矩

\[M=NBISsin\theta\]

$\(\bm{M}=\bm{p}_m \times \bm{B}$\) $\bm{p}_m=NIS\bm{e}_n$：载流线圈的磁矩

磁力所做功 载流导线在磁场中运动

\[A=F aa\prime=IBlaa\prime=IB\Delta S=I\Delta\Phi\]

载流线圈在匀强磁场中转动

\[A=\int_{\Phi_1}^{\Phi_2}Id\Phi=I(\Phi_2-\Phi_1)=I\Delta\Phi\]

带电粒子在电场和磁场中的运动 ¶

霍尔效应

\[U_H=R_H\frac{BI}{d}\]

霍尔系数

\[R_H=\frac{1}{nq}\]

Chap13 磁场中的磁介质 ¶

磁场强度

$\(\bm{H}=\frac{\bm{B}}{\mu_0}-\bm{M}$\) $\bm{H}$：磁场强度 $\bm{B}$：磁感应强度 $\bm{M}$：磁化强度

有磁介质时的安培环路定理

\[\oint_L\bm{H}\cdot d\bm{l}=\sum I_0\]

有磁场介质时的磁场高斯定理

\[\oint_s\bm{B}\cdot d\bm{S}=\oint_s(\bm{B}_0+\bm{B}^{\prime})\cdot d\bm{S}\]

$\bm{B}、\bm{M}、\bm{H}$ 之间的关系

$\(\bm{M}=\chi_m\bm{H}$\) $\(\mu_r=1+\chi_m$\) $\(\mu_0\mu_r=\mu$\) $\(\bm{B}=\mu_0\mu_r=\mu\bm{H}$\) $\mu_0$：真空中的磁导率 $\mu_r$：相对磁导率 $\mu$：磁导率

Chap14 电磁感应 ¶

电磁感应的基本定律 ¶

法拉第电磁感应定律

\[\mathscr{E}_i=-\frac{d \Phi}{dt}=-\frac{d}{dt}\int_s\bm{B}\cdot{d\bm{S}}\]

动生电动势 ¶

动生电动势

\[\mathscr{E}_i=\int d\mathscr{E}_i=\int_L(\bm{v}\times\bm{B})\cdot d\bm{l}\]

感生电动势涡旋电场 ¶

感生电动势

\[\mathscr{E}_i=\oint_L \bm{E}_i\cdot d\bm{l}\]

涡旋电场和变化磁场的关系

\[\oint_L \bm{E}_i\cdot d\bm{l}=-\int_S\frac{\partial\bm{B}}{\partial t}\cdot d\bm{S}\]

自感和互感 ¶

全磁通

\[\Phi=LI\]

自感电动势

\[\mathscr{E}_L=-\frac{d\Psi}{dt}=-L\frac{dI}{dt}\]

互感

\[\Psi_{21}=MI_1$$ $$\Psi_{12}=MI_2$$ $$\mathscr{E}=-\frac{d\Psi}{dt}=-M\frac{dI}{dt}\]

磁场的能量 ¶

自感磁能

\[W_m=\frac{1}{2}LI_0^{2}\]

磁能密度

\[\omega_m=\frac{1}{2}\bm{B}\cdot \bm{H}\]

Chap15 电磁场与电磁波 ¶

位移电流 ¶

位移电流密度

\[\bm{j}_{\bm{d}}=\frac{d\bm{D}}{dt}\]

位移电流强度

\[I_d=\frac{d\Phi_D}{dt}\]

全电流强度 $\(I_{全}=\sum I+I_d$\)

全电流安培环路定理

\[\oint_{L}\bm{H}\cdot{d\bm{l}}=\sum I+\frac{d\Phi_D}{dt}=\sum I+\int_s\frac{\partial D}{\partial t}\cdot d\bm{S}\]

电磁场麦克斯韦方程组 ¶

麦克斯韦方程组积分形式

\[\oint_S \bm{D}\cdot d\bm{S}=\int_{V}\rho dV=\sum q$$ $$\oint_L\bm{E}\cdot d\bm{l}=-\frac{d\Phi_m}{dt}=-\int\frac{\partial \bm{B}}{\partial t}\cdot d\bm{S}$$ $$\oint_S\bm{B}\cdot d\bm{S}=0$$ $$\oint_L\bm{H}\cdot d\bm{l}=\sum I+\frac{d\Phi_D}{dt}=\int_S\bm{j}\cdot dS+\int_S \frac{\partial D}{\partial t}\cdot d\bm{S}\]

麦克斯韦方程组微分形式

\[\nabla\cdot\bm{D}=\rho$$ $$\nabla \times\bm{E}=-\frac{\partial \bm{B}}{\partial t}$$ $$\nabla \cdot \bm{B}=0$$ $$\nabla\times\bm{H}=\bm{j}+\frac{\partial \bm{D}}{\partial t}\]

电磁波 ¶

能流密度

\[\bm{S}=\bm{E}\times\bm{H}\]

$\bm{S}$：能流密度矢量 / 坡印亭矢量

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