Chap1 函数与极限 ¶
函数的概念 ¶
数列极限 ¶
数列极限
数列极限的 \(\varepsilon-\delta\) 定义为：
若 \(\forall \varepsilon>0\)，\(\exists\) 正整数 \(N\)，当 \(n>N\) 时，都有 \(|a_n-a|<\varepsilon\)，则
数列极限存在的准则 ¶
定理
定理 1（夹逼定理
函数极限 ¶
函数极限的概念 ¶
函数极限
设函数 \(f(x)\) 在点 \(x=x_0\) 的某一空心邻域 \(\overset{\circ}{U}(x_0,\delta_0)\) 内有定义，\(A\) 为一常数，若任给 \(\varepsilon>0\)，总存在 \(\delta>0(\delta\le \delta_0)\)，使得当 \(0<|x-x_0|<\delta\) 时，都有 \(|f(x)-A|<\varepsilon\) 成立，则称 \(A\) 为函数 \(f(x)\) 当 \(x\rightarrow x_0\) 时的极限，记作
几何意义：对于任给的 \(\varepsilon>0\)，存在 \(\delta>0\)，当 \(0<|x-x_0|<\delta\) 时，曲线 \(y=f(x)\) 上的点 \((x,f(x))\) 全部落在直线 \(y=A-\varepsilon\) 与 \(y=A+\varepsilon\) 之间的带型区域内
函数极限存在的准则 ¶
无穷小量、无穷大量、阶的比较 ¶
常用的等价无穷小
- \((1+x)^\alpha-1\sim \alpha x\), \(1-\cos x\sim \frac{1}{2}x^2\), \(a^x-1\sim x\ln a\)
- \(x-\sin x\sim \frac{1}{6}x^2\), \(\tan x-x\sim \frac{1}{3}x^2\), \(x-\ln(1+x)\sim\frac{1}{2}x^2\)
- \(\arcsin x-x\sim\frac{1}{6}x^3\), \(x-\arctan x\sim \frac{1}{3}x^3\)
常用的泰勒公式
- \(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)\)
- \(\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+...+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n-1})\)
- \(\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+...+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})\)
- \(\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+...+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)\)
- \((1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+...+\frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)\)
函数的连续性 ¶
函数连续的概念 ¶
间断点
- 第一类间断点：左右极限均存在
- 可去间断点：若 \(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\)，而 \(f(x)\) 在 \(x=x_0\) 处没有定义或有定义但 \(f(x_0)\ne A\)，则称 \(x_0\) 为 \(f(x)\) 的可去间断点
- 跳跃间断点：\(\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=f(x_0^+)\)，\(\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=f(x_0^-)\)，但 \(f(x_0^+)=f(x_0^-)\)，则称 \(x_0\) 为 \(f(x)\) 的跳跃间断点，\(|f(x_0^+)-f(x_0^-)|\) 为跳跃度
- 第二类间断点：左、右极限至少有一个不存在
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