Chap5 差分方程 ¶
差分与差分方程的基本概念 ¶
一阶差分记为
\[\Delta y_t=y_{t+1}-y_t\]
二阶差分记为
\[\Delta^2 y_t=\Delta(\Delta y_t)=y_{t+2}-2y_{t+1}+y_t\]
一阶及二阶常系数线性差分方程的解法 ¶
一阶常系数线性差分方程的解法 ¶
\[y_{t+1}+py_t=f(t)\]
\[y_{t+1}+py_t=0\]
分别称为一阶常系数线性非齐次差分方程与齐次差分方程
其特征方程为
\[\lambda+p=0\]
\(\lambda=-p\) 为特征根，易知通解为 \(y_t=c(-p)^t\)
若 \(f(t)\) 为 \(m\) 次多项式 \(P_m(t)\)
其特解为
\[y_t^*=t^kQ_m(t)\]
k=0，当 \(-p\ne1\)（即 1 不是特征根）时；k=1，当 \(-p=1\)（即 1 是特征根）时
若 \(f(t)\) 为 \(P_ma^t\)
其特解为
\[y_{t}^*=t^kQ_m(t)a^t\]
k=0，当 \(-p\ne a\)（即 a 不是特征根）时；k=1，当 \(-p=a\)（即 a 是特征根）时
二阶常系数线性差分方程的解法 ¶
\[y_{t+2}+py_{t+1}+qy_t=f(t)\]
\[y_{t+2}+py_{t+1}+qy_t=0\]
分别称为二阶常系数线性非齐次差分方程和齐次差分方程
其特征方程为
\[\lambda^t+p\lambda+q=0\]
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