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Chap11 级数

数项级数的基本概念

概念

级数与部分和

级数：\(\sum_{n=1}^\infty u_n=u_1+u+2+...\)

部分和：\(S_n=u_1+u+2+...u_n\)，且 \(\sum_{n=1}^\infty u_n=\lim_{n\rightarrow \infty}S_n\)

若 \(\lim_{n\rightarrow \infty}S_n=S\)，称级数收敛，并称 \(S\) 为级数的和；若不存在，则称级数发散

常见级数

几何级数：

\[\sum_{n=1}^{\infty}aq^{n-1}(a\ne0)\]

当 \(|q|<1\) 时收敛，其和为 \(\frac{a}{1-q}\)；当 \(|q|\ge1\) 时发散

p 级数：

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\]

当 \(p>1\) 时收敛；当 \(p\le1\) 时发散；\(p=1\) 时，该级数又称为调和级数

\(\ln x\) 类级数：

\[\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^p(\ln n)^q}\]

当 \(p>1\)，或 \(p=1\) 且 \(q>1\) 时收敛；当 \(p<1\)，或 \(p=1\) 且 \(q\le 1\) 时发散

性质

线性运算法则：若级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n\)，\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} v_n\) 均收敛，且 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n = A\)，\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} v_n = B\)，则对任意常数 \(\alpha, \beta\)，有

\[ \sum_{n=1}^{\infty} (\alpha u_n + \beta v_n) = \alpha A + \beta B \]

改变级数的有限项、去掉级数前的有限项、在级数前增添有限项均不会影响级数的敛散性

收敛级数的结合性：若级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 收敛，则在级数中任意添加括号所得到的新级数也收敛，且其和不变

级数收敛的必要条件：若级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 收敛，则 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} u_n = 0\)

推论（逆否命题）：若 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} u_n\) 不存在或 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} u_n \neq 0\)，则级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 发散

柯西收敛准则

级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 收敛的充要条件是：\(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists N \in \mathbb{N}_+\)，当 \(n > N\) 时，\(\forall p \in \mathbb{N}_+\)，\(|u_{n+1} + u_{n+2} + \cdots + u_{n+p}| < \varepsilon\)

正项级数敛散性的判别法

定理

正项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 收敛的充要条件是：正项级数的部分和数列 \(\{S_n\}\) 有上界，即存在常数 \(M\)，\(\forall n\in N\)，都有 \(S_n\le M\)

判别法

    • 设 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n\)，\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} v_n\) 均为正项级数，且 \(u_n \leqslant v_n\ (n = 1, 2, \cdots)\)

    比较判别法

    • 若 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} v_n\) 收敛，则 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 收敛

    • 若 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 发散，则 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} v_n\) 发散

  • 比值判别法

    • 设 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 是正项级数，并且 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \gamma\)（或 \(+\infty\)）

    • 当 \(\gamma < 1\) 时，级数收敛

    • 当 \(\gamma > 1\) 时，级数发散

    • 当 \(\gamma = 1\) 时，无法判断

  • 根植判别法

    • 设 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 是正项级数，并且 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = \gamma\)（或 \(+\infty\)）

    • 当 \(\gamma < 1\) 时，级数收敛

    • 当 \(\gamma > 1\) 时，级数发散

    • 当 \(\gamma = 1\) 时，无法判断

  • 积分判别法

    • 设 \(f(x)\) 在 \([1,\infty)\) 上是非负且递减的连续函数，设 \(u_n=f(n),n=1,2,3,...\)，则该级数 \(\sum_{n=1}^\infty u_n\) 与反常积分 \(\int_1^{+\infty}f(x)\) 的敛散性相同

一般级数收敛性的判别法

交错级数

交错级数：\(\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}u_n(u_n>0)\)

莱布尼茨公式

若有交错级数 \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}u_n(u_n>0)\) 满足下列条件：

  • \(u_1\ge u_2 \ge u_3\ge...\)
  • \(\lim_{n\rightarrow \infty}{u_n}=0\)

则 \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}u_n\) 收敛，且它的和 \(S<u_1\)

绝对收敛级数与条件收敛级数

定理

若 \(\sum_{n=1}^\infty |u_n|\) 收敛，则 \(\sum_{n=1}^\infty u_n\) 收敛

设 \(\sum_{n=1}^\infty u_n\) 为一般级数

  • 若 \(\sum_{n=1}^\infty |u_n|\) 收敛，称 \(\sum_{n=1}^\infty\) 绝对收敛

  • 若 \(\sum_{n=1}^\infty |u_n|\) 发散，称 \(\sum_{n=1}^\infty\) 条件收敛

例题

设 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 收敛，则下列级数中收敛的是 ____

A.\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n^2\)

B.\(\sum_{n=1}^\infty (u_n+u_{n+1})\)

C.\(\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{u_n}{n}\)

D.\(\sum_{n=1}^\infty (u_{2n-1}-u_{2n})\)

答案：B

A 项，令 \(u_n=\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}\)；B 项，令 \(v_n=u_{n+1}\)，显然 \(\sum v_{n}\) 收敛；C 项，令 \(u_n=\frac{(-1)^{n-1}}{\ln (n+1)}\)；D 项，令 \(u_n=\frac{(-1)^{n-1}}{n}\)

函数项级数的概念

函数项级数：\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x) = u_1(x) + u_2(x) + \cdots + u_n(x) + \cdots\)

若 \(\exists x_0\)，\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x_0)\) 收敛，称 \(x_0\) 为函数项级数的收敛点。函数项级数全体收敛点的集合被称为函数项级数的收敛域，记为 \(D\)

令 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n(x) = S(x)\)，\(x \in D\)，称 \(S(x)\) 为函数项级数的和函数

称 \(R_n(x) = S(x) - S_n(x) = u_{n+1}(x) + u_{n+2}(x) + \cdots\) 为函数项级数的余项，它满足 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} R_n(x) = 0\)

幂级数及其和函数

概念

幂级数：\(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+...+a_n(x-x_0)^n+...\)

阿贝尔定理

  • 若级数 \(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\) 在 \(x=x_0(x_0\ne 0)\) 处收敛，则满足 \(|x|<|x_0|\) 的一切 \(x\) 都使该幂级数绝对收敛

  • 若级数 \(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\) 在 \(x=x_0(x_0\ne 0)\) 处发散，则满足 \(|x|>|x_0|\) 处的一切 \(x\) 都使该幂级数发散

  • 收敛域：以原点为中心的区间 \(D\)，用 \(2R\) 表示区间长度
  • 收敛半径：\(R\)
  • 收敛区间：\((-R, R)\)

\((-R, R) \subseteq D \subseteq [-R, R]\)，因此最后还要判断一下边界上幂级数是否收敛

柯西 - 阿达玛公式

设幂级数 \(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\)，若 \(\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=R\)

  • 当 \(0<R<+\infty\) 时，级数在 \((-R,R)\) 内绝对收敛，\(|x|>R\) 时发散

  • 当 \(R=0\) 时，级数仅在 \(x=0\) 处收敛，\(x\ne0\) 时发散

  • 当 \(R=+\infty\) 时，级数在 \((-\infty,+\infty)\) 内绝对收敛

性质

求幂级数的和函数，或函数展成幂级数，都必须注意：确定收敛域，判断幂级数在边界那两点上是否收敛；关注那些取不到的点

函数的傅里叶展开

傅里叶级数

\[ \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{n\pi x}{l} + b_n \sin \frac{n\pi x}{l} \right) \]

其中 \(a_n, b_n\) 被称为傅里叶系数，满足：

\[ \begin{cases} a_n = \dfrac{1}{l} \displaystyle \int_{-l}^{l} f(x) \cos \frac{n\pi x}{l} \, \mathrm{d}x, & n = 0, 1, 2, \cdots \\ b_n = \dfrac{1}{l} \displaystyle \int_{-l}^{l} f(x) \sin \frac{n\pi x}{l} \, \mathrm{d}x, & n = 1, 2, 3, \cdots \end{cases} \]

周期函数的傅里叶展开

狄利克雷定理

如果 \(f(x)\) 是以 \(T = 2l\) 为周期的周期函数，且 \(f(x)\) 在 \([-l, l]\) 上逐段光滑，那么 \(f(x)\) 的傅里叶级数在任意点 \(x\) 处都收敛，并且收敛于 \(f(x)\) 在该点左右极限的平均值，即：

\[ \begin{aligned} \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{n\pi x}{l} + b_n \sin \frac{n\pi x}{l} \right) &= S(x) \\ &= \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2}, \quad x \in (-\infty, +\infty) \end{aligned} \]

有限区间上的傅里叶展开

\(f(x)\) 在有限区间 \([-l,l]\) 上的傅里叶展开式，类似一般周期函数

帕塞瓦尔等式

设 \(f(x)\) 可积且平方可积，且 \(f(x)\) 的傅里叶系数 \(a_n\) 和 \(b_n\) 的平方构成的级数

\[\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n^2+b_n^2)\]

是收敛的，且成立等式

\[\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n^2+b_n^2)=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f^2(x)\mathrm{d}x\]

在 \([0,l]\) 上的展开式常采取奇延拓或偶延拓

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