Chap11 级数 ¶
数项级数的基本概念 ¶
几何级数：
\[\sum_{n=1}^{\infty}aq^{n-1}(a\ne0)\]
当 \(|q|<1\) 时收敛，其和为 \(\frac{a}{1-q}\)；当 \(|q|\ge1\) 时发散
p 级数：
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\]
当 \(p>1\) 时收敛；当 \(p\le1\) 时发散；\(p=1\) 时，该级数又称为调和级数
正项级数敛散性的判别法 ¶
判别法
- 积分判别法
设 \(f(x)\) 在 \([1,\infty)\) 上是非负且递减的连续函数，设 \(u_n=f(n),n=1,2,3,...\)，则该级数 \(\sum_{n=1}^\infty u_n\) 与反常积分 \(\int_1^{+\infty}f(x)\) 的敛散性相同
一般级数收敛性的判别法 ¶
交错级数 ¶
交错级数：\(\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}u_n(u_n>0)\)
莱布尼茨公式
若有交错级数 \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}u_n(u_n>0)\) 满足下列条件：
- \(u_1\ge u_2 \ge u_3\ge...\)
- \(\lim_{n\rightarrow \infty}{u_n}=0\)
则 \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}u_n\) 收敛，且它的和 \(S<u_1\)
绝对收敛级数与条件收敛级数 ¶
定理
若 \(\sum_{n=1}^\infty |u_n|\) 收敛，则 \(\sum_{n=1}^\infty u_n\) 收敛
设 \(\sum_{n=1}^\infty u_n\) 为一般级数
-
若 \(\sum_{n=1}^\infty |u_n|\) 收敛，称 \(\sum_{n=1}^\infty\) 绝对收敛
-
若 \(\sum_{n=1}^\infty |u_n|\) 发散，称 \(\sum_{n=1}^\infty\) 条件收敛
幂级数及其和函数 ¶
阿贝尔定理
- 若级数 \(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\) 在 \(x=x_0(x_0\ne 0)\) 处收敛，则满足 \(|x|<|x_0|\) 的一切 \(x\) 都使该幂级数绝对收敛
- 若级数 \(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\) 在 \(x=x_0(x_0\ne 0)\) 处发散，则满足 \(|x|>|x_0|\) 处的一切 \(x\) 都使该幂级数发散
定理：柯西 - 阿达玛公式
评论区
如果有什么问题或想法，欢迎大家在下方留言~