Chap6 统计量与抽样分布 ¶

样本方差

\[ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2=\frac{1}{n-1}(\sum_{i=1}^{n} X_i^2 - n\bar{X}^2) \]

样本标准差

\[ S=\sqrt{S^2} \]

样本 k 阶（原点）矩

\[ A_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^k, \quad k=1,2... \]

样本 k 阶中心矩

\[ B_k=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^k, \quad k=2,3... \]

$\chi^2$ 分布

\[Y=X_1^2+X_2^2+...X_n^2 \sim\chi^2(n) \]

其中 $X_1,X_2...X_n$ 为独立同分布的随机变量，且都服从 $N(0,1)$

$\chi^2$ 分布可加性

设 $Y_1\sim\chi^2(m)$，$Y_2\sim\chi^2(n)$，且两者相互独立，则 $Y_1+Y2\sim\chi^2(m+n)$

$\chi^2$ 分布的数学期望和方差

\[ E(\chi^2(n))=n, \quad Var(\chi^2(n))=2n \]

$t$ 分布

\[ t=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n) \]

其中 $X\sim N(0,1)$，$Y\sim \chi^2(n)$

$F$ 分布

\[ F=\frac{U/n_1}{V/n_2}\sim F(n_1,n_2) \]

其中 $U\sim \chi^2(n_1)$，$V\sim \chi^2(n_2)$

设 $X_1$，$X_2$，...$X_n$ 为来自正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$ 的简单随机样本，$\bar{X}$ 是样本均值，$S^2$ 是样本方差，则有

设 $X_1,X_2,...X_{n1}$ 和 $Y_1,Y_2,...Y_{n2}$ 分别为来自正态总体 $N(\mu_1,\sigma_1^2)$ 和 $N(\mu_2,\sigma_2^2)$ 的两个相互独立的简单随机样本

\[ \frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2) \]

其中 $S_w^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$，$S_w=\sqrt{S_w^2}$

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