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Chap3 扭转

扭转的概念和实例

杆件的两端作用两个大小相等、方向相反且作用平面垂直于杆件轴向的力偶，致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，这就是扭转变形

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外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图

传动轴所受的外力偶矩可用下式计算

\[M_e\omega=P\]

其中 \(P\) 为传动功率，\(n\) 为转速，则有

\[\{M_e\}_{\text{N}\cdot\text{m}}=9549\frac{\{P\}_{\text{kW}}}{\{n\}_{\text{r/min}}}\]

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考察图示圆轴，圆轴两端受外加力矩 \(M_e\) 作用时，横截面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩，称为扭矩（twist moment）

应用截面法，将圆轴沿 \(n-n\) 截面分成两部分。由平衡方程 \(\sum M_x=0\)，可求出

\[T=M_e\]

对扭矩 \(T\) 的符号规定：若按右手螺旋法则将 \(T\) 表示为矢量，当矢量方向与截面的外法线的方向一致时，\(T\) 为正；也即当力偶矩矢的指向离开截面时为正

扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为扭矩图（diagram of torsion moment）

纯剪切

考察等厚薄壁圆筒，可得

\[\tau=\frac{M_e}{2\pi r^2\delta }\]

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用相邻的两个横截面和两个纵向面，从圆筒中取出边长为 \(\mathrm{d}x\)、\(\mathrm{d}y\) 和 $\delta $ 的单元体

切应力互等定理

由平衡方程可知，单元体左、右两侧面切应力的合力偶与上、下两侧面切应力的合力偶相平衡

\[(\tau\delta \mathrm{d}y)\mathrm{d}x=(\tau^\prime\delta\mathrm{d}x)\mathrm{d}y\]

即有切应力互等定理（pairing principle of shear stress）：

在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线

在上述单元体的上、下、左、右四个侧面上，只有切应力并无正应力，这种情况称为纯剪切

纯剪切单元体的左右两侧面将发生微小的相对错动，使原来相互垂直的两个棱边的夹角改变一个微量 \(\gamma\)

\[\gamma=\frac{r\varphi}{l}\]

其中，\(\gamma\) 为表面纵向线变形后倾角，\(\varphi\) 为圆筒两端的相对扭转角，\(l\) 为圆筒的长度

当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变 \(\gamma\) 与切应力 \(\tau\) 成正比，即剪切胡克定律

\[\tau=G\gamma\]

\(G\) 为比例常数，称为材料的切变模量

对各向同性材料，弹性模量 \(E\)、泊松比 \(\mu\) 和切变模量 \(G\) 满足

\[G=\frac{E}{2(1+\mu)}\]

剪切应变能

\[v_\varepsilon=\frac{1}{2}\tau \gamma=\frac{\tau^2}{2G}\]

圆轴扭转时的应力

应用平衡方法无法确定圆轴扭转时横截面上各点剪应力的大小，这是圆截面扭转剪应力分布的超静定性质，我们需要综合平衡方程、变形协调、物性关系三方面的关系

变形几何关系

圆轴扭转的平面假设

圆轴扭转变形前原为平面的横截面变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线，且相邻两截面间的距离不变，即，截面像刚性平面绕轴线旋转一角度

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距圆心为 \(\rho\) 处的切应变为

\[\gamma_\rho=\rho \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}\]

物理关系

由剪切胡克定律

\[\tau_\rho=G\gamma_\rho\]

代入即有

\[\tau_\rho=G\rho \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}\]

静力关系

由定义，内力系对圆心的力矩即截面上的扭矩，得

\[T=\int_A \rho \tau_\rho\mathrm{d}A=G\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}\int_A \rho^2 \mathrm{d}A\]

以 \(I_p\) 表示上式的积分，即

\[I_p=\int_A \rho^2 \mathrm{d}A\]

\(I_p\) 称为横截面对圆心 \(O\) 点的极惯性矩（截面二次极矩），即有

\[T=GI_p\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}\]

得

\[\tau_\rho=\frac{T\rho}{I_p}\]

在圆截面边缘上，\(\rho\) 为最大值 \(R\)，得最大扭转切应力为

\[r_{\max}=\frac{T R}{I_p}\]

引用记号

\[W_t=\frac{I_p}{R}\]

\(W_t\) 称为抗扭截面系数，则有

\[\tau_{\max}=\frac{T}{W_t}\]
形状 \(I_p\) \(W_p\)
实心圆轴 \(\frac{\pi D^4}{32}\) \(\frac{\pi D^3}{16}\)
空心圆轴 \(\frac{\pi D^4(1-\alpha^4)}{32}\) \(\frac{\pi D^3(1-\alpha^4)}{16}\)
薄壁圆轴 \(2\pi R^3 t\) \(2\pi R^2 t\)

圆轴扭转的强度条件

\[\tau_{\max}=\frac{T_{\max}}{W_t}\le [\tau]\]

圆轴扭转时的变形

扭转角公式

\[\varphi = \frac{Tl}{GI_p}\]

单位长度的扭转角

\[\varphi^`=\frac{ T}{GI_P}\]
\[G=\frac{E}{2(1+\mu)}\]

\(GI_p\) 称为抗扭刚度

非圆截面杆扭转的概念

对于矩形截面杆的扭转，最大切应力发生在矩形长边的中点

\[\tau_{\max}=\frac{T}{\alpha hb^2}\]

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