Chap7 矢量代数与空间解析几何 ¶

两矢量的数量积与矢量积 ¶

数量积 ¶

数量积：\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta\)

\(\boldsymbol{a}\perp \boldsymbol{b}\Leftrightarrow \boldsymbol{a\cdot b}=0\)

矢量积 ¶

矢量积：\(\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\)

\(|\boldsymbol{c}|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta\)

\(\boldsymbol{a\parallel b\Leftrightarrow a \times b=0}\)

\[ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} \]

矢量的混合积与二重矢积 ¶

混合积 ¶

定理

三矢量 \(\bm{a}\)，\(\bm{b}\)，\(\bm{c}\) 共面的充分必要条件是它们的混合积

\[\bm{a}\cdot(\bm{b}\times\bm{c})=0\]

亦即

\[\left|\begin{array}{ccc}a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3\end{array}\right|=0\]

以 \(\bm{a}\)，\(\bm{b}\)，\(\bm{c}\) 为棱的平行六面体的体积

\[V=|\bm{a}\cdot(\bm{b}\times\bm{c})|\]

二重矢积 ¶

二重矢积：\(\boldsymbol{a\times b\times c}\)

平面与直线方程 ¶

平面及平面方程 ¶

点法式方程：已知一平面过 \(P_0(x_0,y_0,z_0)\)，且垂直于非零矢量 \(\boldsymbol{a}=A\boldsymbol{i}+B\boldsymbol{j}+C\boldsymbol{k}\)，则平面方程为：

\[A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\]

截距式方程：方程为

\[\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\]

两平面的夹角：设平面 \(\pi_1: A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0\)，\(\pi_2: A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0\)，则该两平面的夹角的余弦值为：

\[ \cos \theta = \cos(\boldsymbol{n}_1, \boldsymbol{n}_2) = \frac{A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \, \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}} \]

点到平面的距离：求空间一点 \(P_0(x_0, y_0, z_0)\) 到平面 \(Ax + By + Cz + D = 0\) 的距离

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

空间直线方程 ¶

点向式方程（对称式方程）：设 \(L\) 是过点 \(P_0(x_0, y_0, z_0)\) 且与一非零矢量 \(\boldsymbol{v} = l\boldsymbol{i} + m\boldsymbol{j} + n\boldsymbol{k}\) 平行的直线，求其方程：

\[ \frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n} \]

参数式方程：（\(t\) 为参数）

\[ \begin{cases} x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt \\ z = z_0 + nt \end{cases}, \quad (-\infty < l < +\infty) \]

两点式方程：已知直线上两点 \(P_1(x_1, y_1, z_1)\)，\(P_2(x_2, y_2, z_2)\)，则直线方程为：

\[ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1} \]

平面束方程 ¶

若 \(L: \begin{cases} \pi_1: A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0 \\ \pi_2: A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0 \end{cases}\)，则平面束方程为：

\[ \lambda(A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1) + \mu(A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2) = 0 \]

曲面方程与空间曲线方程 ¶

曲面方程 ¶

球面方程

柱面方程

锥面方程

旋转曲面方程

空间曲线方程 ¶

用两曲面交线表示

用参数方程表示

二次曲面 ¶

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