Chap2 线性微分方程 ¶
线性微分方程解的一般理论 ¶
线性微分方程的一般形式是
\[\frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}+p_1(x)\frac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}x^{n-1}}+...+p_{n-1}(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+p_n(x)y=f(x)\]
当 \(f(x)\not\equiv0\)，称为非齐次线性微分方程，其中 \(f(x)\) 称自由项；当 \(f(x)\equiv0\)，称
\[\frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}+p_1(x)\frac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}x^{n-1}}+...+p_{n-1}(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+p_n(x)y=0\]
为齐次线性微分方程
常系数线性微分方程的解法 ¶
二阶常系数齐次线性方程的解法 ¶
给定二阶常系数齐次线性方程
\[y^{\prime\prime}+py^{\prime}+qy=0\]
称
\[\lambda^2+p\lambda+q=0\]
为特征方程，称其根为特征根
\(p^2-4q>0\)，有两根 \(r_1 \ne r_2\)
\[
y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}
\]
\(p^2-4q=0\)，有两根 \(r_1=r_2=r\)
\[
y=(C_1+C_2 x)e^{rx}
\]
\(p^2-4q<0\)，有两复根 \(r_{1,2}=\alpha+i \beta\)
\[
y=e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x+ C_2 \sin \beta x)
\]
n 阶常系数齐次线性方程的解法 ¶
常系数非齐次线性微分方程的解法 ¶
讨论二阶常系数线性非齐次方程
\[y^{\prime\prime}+py^{\prime}+qy=f(x)\]
若自由项具有 \(P_m(x)e^{\alpha x}\) 的形式
假设特解具有如下形式
\[y^*=Q(x)e^{\alpha x}\]
即有
\[\frac{\mathrm{d}^2 Q}{\mathrm{d}x^2}+(2\alpha+p)\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}x}+(\alpha^2+p\alpha+q)Q=P_m(x)\]
讨论 \(\alpha\) 与特征方程的关系，归纳有
\[y^*=x^kR_m(x)e^{\alpha x}\]
k=0，当 \(\alpha\) 不为特征根时；k=1，当 \(\alpha\) 为单重特征根时；k=2，当 \(\alpha\) 为二重特征根时
若自由项具有 \(P_m(x)e^{ax}\cos bx\) 或 \(Q_le^{ax}\sin bx\) 或 \(P_m(x)e^{ax}\cos bx+Q_le^{ax}\sin bx\) 的形式
对于 \(P_m(x)e^{ax}\cos bx\)，只需求方程
\[y^{\prime\prime}+p^\prime+qy=P_m(x)e^{(a+ib)x}\]
的一个解取其实部即可
同理，对于 \(Q_l(x)e^{ax}\sin bx\)，只需求方程
\[y^{\prime\prime}+p\prime+qy=Q_m(x)e^{(a+ib)x}\]
的一个解取其虚部即可
一般线性微分方程的一些解法 ¶
变量变换法 ¶
欧拉方程 ¶
欧拉方程的一般形式是
\[a_0x^n\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n}+a_1x^{n-1}\frac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}x^{n-1}}+...+a_{n-1}x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+a_ny=0\]
作变量代换
\[t=\ln x\]
以二阶欧拉方程为例
\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{x}\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\]
\[\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{1}{x}(\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t})\]
即有
\[a_0(\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t})+a_1\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+a_2y=f(e^t)\]
即
\[a_0\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2}+(a_1-a_0)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+a_2y=f(e^t)\]
降阶 ¶
考虑二阶齐次线性微分方程
分离变量，可得通解
\[y=y_1[c_1+c_2\int \frac{1}{y_1^2}e^{-\int p(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x]\]
称为二阶齐次线性微分方程的解的刘维尔公式
变动任意常数法 ¶
幂级数解法 ¶
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