Skip to content

Chap4 不定积分

不定积分的概念

例题

求下列不定积分

\[\int \frac{1-\sin x}{1+\sin x}\mathrm{d}x\]
\[\int \frac{1-\sin x}{1+\sin x}\mathrm{d}x=\int \frac{(1-\sin x)^2}{\cos^2 \mathrm{d}x}=\int(\sec^2 x-2\sec x\cdot \tan x+\tan^2 x)\mathrm{d}x\\=2\tan x-2\sec x-x+C\]

常用变量代换

  • 被积函数含有 \(\sqrt{a^2-x^2}\)，令 \(x=a\sin t\)
  • 被积函数含有 \(\sqrt{a^2+x^2}\)，令 \(x=a\tan t\)
  • 被积函数含有 \(\sqrt{x^2-a^2}\)，令 \(x=a\sec t\)

例题

计算 \(I=\int \frac{\text{arcsin}e^x}{e^x}\mathrm{d}x\)

方法 1：

\(I=\int \frac{\text{arcsin}e^x}{e^x}\mathrm{d}x=-\int \text{arcsin} e^x \mathrm{d}(e^{-x})=-\frac{\text{arcsin}e^x}{e^x}+\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-e^{2x}}}\)

令 \(\sqrt{1-e^{2x}}=t\)，则 \(\mathrm{d}x=-\frac{-t\mathrm{d}t}{1-t^2}\)

方法 2：

令 \(\text{arcsin}e^x=t\)，则 \(x=\ln \sin t\)，\(\mathrm{d}x=\frac{\cos t}{\sin t}\mathrm{d}t\)

\(\int \frac{\arcsin e^x}{e^x}\mathrm{d}x=\int \frac{t}{\sin t}\cdot \frac{\cos t}{\sin t}\mathrm{d}t=-\int t\mathrm{d}(\frac{1}{\sin t})=-\frac{t}{\sin t}+\int \frac{1}{\sin t}\mathrm{d}t\)

评论区

如果有什么问题或想法，欢迎大家在下方留言~