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Chap4 不定积分

不定积分的概念

不定积分的基本方法

分部积分法

分部积分法

若 \(u = u(x)\)，\(v = v(x)\) 均可导，且 \(\displaystyle \int u'(x) v(x) \, \mathrm{d}x\) 存在，则 \(\displaystyle \int u(x) v'(x) \, \mathrm{d}x\) 也存在，并有

\[\boxed{\int u(x) v'(x) \, \mathrm{d}x = u(x) v(x) - \int u'(x) v(x) \, \mathrm{d}x}\]

这个公式称为分部积分公式，常简单地写成

\[\boxed{\int u \, \mathrm{d}v = uv - \int v \, \mathrm{d}u}\]

例题

求下列不定积分

\[\int \frac{1-\sin x}{1+\sin x}\mathrm{d}x\]
\[\int \frac{1-\sin x}{1+\sin x}\mathrm{d}x=\int \frac{(1-\sin x)^2}{\cos^2 \mathrm{d}x}=\int(\sec^2 x-2\sec x\cdot \tan x+\tan^2 x)\mathrm{d}x\\=2\tan x-2\sec x-x+C\]

常用变量代换

  • 被积函数含有 \(\sqrt{a^2-x^2}\)，令 \(x=a\sin t\)
  • 被积函数含有 \(\sqrt{a^2+x^2}\)，令 \(x=a\tan t\)
  • 被积函数含有 \(\sqrt{x^2-a^2}\)，令 \(x=a\sec t\)

例题

计算 \(I=\int \frac{\text{arcsin}e^x}{e^x}\mathrm{d}x\)

方法 1：

\(I=\int \frac{\text{arcsin}e^x}{e^x}\mathrm{d}x=-\int \text{arcsin} e^x \mathrm{d}(e^{-x})=-\frac{\text{arcsin}e^x}{e^x}+\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-e^{2x}}}\)

令 \(\sqrt{1-e^{2x}}=t\)，则 \(\mathrm{d}x=-\frac{-t\mathrm{d}t}{1-t^2}\)

方法 2：

令 \(\text{arcsin}e^x=t\)，则 \(x=\ln \sin t\)，\(\mathrm{d}x=\frac{\cos t}{\sin t}\mathrm{d}t\)

\(\int \frac{\arcsin e^x}{e^x}\mathrm{d}x=\int \frac{t}{\sin t}\cdot \frac{\cos t}{\sin t}\mathrm{d}t=-\int t\mathrm{d}(\frac{1}{\sin t})=-\frac{t}{\sin t}+\int \frac{1}{\sin t}\mathrm{d}t\)

例题

\(f(x)=\frac{1}{1+\sin^2 x},x\in[0,\pi]\)，则 \(f(x)\) 在 \([0,\pi]\) 上的全体原函数是 ____

\[\int \frac{1}{1+\sin^2 x}=\int \frac{\frac{1}{\cos^2 x}\mathrm{d}x}{\frac{1}{\cos^2 x}+\tan^2 x}=\int \frac{\mathrm{d}\tan x}{1+2\tan^2 x}\]
\[F(x)=\left\{\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan(\sqrt{2}\tan x)-\frac{\pi}{2\sqrt{2}},0\le x<\frac{\pi}{2} \\ 0,x=\frac{\pi}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan (\sqrt{2}\tan x)+\frac{\pi}{2\sqrt{2}},\frac{\pi}{2}<x\le \pi\end{aligned}\right.\]
\[\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C\]

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