Chap10 第二类曲线积分与第二类曲面积分 ¶

第二类曲线积分 ¶

第二类曲线积分的概念 ¶

第二类曲线积分

设 \(\Gamma\) 是以 \(A\)，\(B\) 为端点的光滑曲线，并指定从 \(A\) 到 \(B\) 的方向为曲线方向，在 \(\Gamma\) 上每一点 \(M\) 处作曲线的单位切矢量

\[ \boldsymbol{e}_\tau(M) = \cos \alpha \, \boldsymbol{i} + \cos \beta \, \boldsymbol{j} + \cos \gamma \, \boldsymbol{k} \]

（\(\alpha, \beta, \gamma\) 分别是 \(\boldsymbol{e}_\tau\) 与 \(Ox\) 轴，\(Oy\) 轴，\(Oz\) 轴正向的夹角），其方向与指定的曲线方向一致，又设

\[ \boldsymbol{A}(M) = \boldsymbol{A}(x, y, z) = P(x, y, z) \, \boldsymbol{i} + Q(x, y, z) \, \boldsymbol{j} + R(x, y, z) \, \boldsymbol{k}, \]

其中 \(P\)，\(Q\)，\(R\) 是定义在曲线 \(\Gamma\) 上的有界函数，则函数

\[ \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{e}_\tau = P \cos \alpha + Q \cos \beta + R \cos \gamma \]

在曲线 \(\Gamma\) 上的第一类曲线积分

\[ \int_{\Gamma} \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{e}_\tau \, \mathrm{d}s = \int_{\Gamma} \left( P \cos \alpha + Q \cos \beta + R \cos \gamma \right) \mathrm{d}s \]

称为函数 \(\boldsymbol{A}(P) = \boldsymbol{A}(x, y, z)\) 沿曲线 \(\Gamma\) 从 \(A\) 到 \(B\) 的第二类曲线积分

第二类曲线积分又称称为对坐标曲线积分

第二类曲线积分的四种形式

\(\displaystyle \int_{\Gamma_{AB}} \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{e}_T \, \mathrm{d}s\)
\(\displaystyle \int_{\Gamma_{AB}} \boldsymbol{A} \, \mathrm{d}s\)
\(\displaystyle \int_{\Gamma_{AB}} (P \cos \alpha + Q \cos \beta + R \cos \gamma) \, \mathrm{d}s\)
\(\displaystyle \int_{\Gamma_{AB}} (P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y + R \, \mathrm{d}z)\)

设光滑曲线 \(\Gamma_{AB}\) 的方程为 \(\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}\)，点 \(A\)，\(B\) 对应参数分别为 \(t_A, t_B\)，且 \(\boldsymbol{A}(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))\) 的分量 \(P\)，\(Q\)，\(R\) 在 \(\Gamma\) 上连续，则

\[ \begin{aligned} &\int_{\Gamma_{AB}} \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{e}_T \, \mathrm{d}s \\ &= \int_{t_A}^{t_B} \left[ P(x(t), y(t), z(t)) \cdot x'(t) + Q(x(t), y(t), z(t)) \cdot y'(t) + R(x(t), y(t), z(t)) \cdot z'(t) \right] \mathrm{d}t \end{aligned} \]

对于平面曲线，则有

\[ \int_{\Gamma_{AB}} P(x, y) \, \mathrm{d}x + Q(x, y) \, \mathrm{d}y = \int_{t_A}^{t_B} \left[ P(x(t), y(t)) \, x'(t) + Q(x(t), y(t)) \, y'(t) \right] \mathrm{d}t. \]

格林公式 ¶

设区域 \(D\) 的边界由一条或几条光滑曲线所围成，边界曲线 \(\Gamma\) 的正向规定为：当沿边界行走时，区域 \(D\) 总在他的左边，若与上述方向相反，则称为负方向，并记为 \(-\Gamma\)

格林公式

若函数 \(P\)，\(Q\) 在有界闭区域 \(D \subset \mathbf{R}^2\) 上连续且具有一阶连续偏导数，则

\[ \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \oint_{\Gamma} P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y \]

这里 \(\Gamma\) 为区域 \(D\) 的边界曲线，并取正向

格林公式的行列式表示法：

\[ \iint_{D} \begin{vmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} \\[2ex] P & Q \end{vmatrix} \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \oint_{\Gamma} P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y \]

在格林公式中，令 \(P=-y,Q=x\)，可得计算平面区域的面积 \(S\) 的公式。若 \(\Gamma\) 是区域 \(D\) 边界曲线正向，有

\[S=\frac{1}{2}\oint_\Gamma -y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y\]

平面曲线积分与路径无关性 ¶

定理

设 \(D \subset \mathbf{R}^2\) 是平面单连通区域，若函数 \(P\)，\(Q\) 在区域 \(D\) 上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：

（1）沿 \(D\) 中任一按段光滑的闭曲线 \(L\)，有 \(\displaystyle \oint_{L} P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y = 0\)；

（2）对 \(D\) 中任一按段光滑曲线 \(L\)，曲线积分 \(\displaystyle \int_{L} P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y\) 与路径无关，只与 \(L\) 的起点和终点有关；

（3）\(P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y\) 是 \(D\) 内某一函数 \(u\) 的全微分，即在 \(D\) 内存在一个二元函数 \(u(x, y)\)，使 \(\mathrm{d}u = P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y\)，即 \(\dfrac{\partial u}{\partial x} = P\)，\(\dfrac{\partial u}{\partial y} = Q\)；

（4）在 \(D\) 内每一点处，有 \(\dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x}\)

曲线积分的牛顿 - 莱布尼茨公式

\[ \int_{A(x_0,\, y_0)}^{B(x_1,\, y_1)} P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y = u(x, y) \bigg|_{A(x_0,\, y_0)}^{B(x_1,\, y_1)} = u(x_1, y_1) - u(x_0, y_0) \]

定理

设在复连通区域 \(D\) 内，\(P\)，\(Q\) 具有连续的偏导数且 \(\frac{\partial P}{\partial y}\equiv \frac{\partial Q}{\partial x}\)，则环绕同一些洞的任何两条闭曲线（取同一方向）上的曲线积分都相等

第二类曲面积分 ¶

第二类曲面积分的概念 ¶

第二类曲面积分

设 \(S\) 是光滑有界的定侧曲面，记 \(S\) 上每点 \(M(x, y, z)\) 处沿曲面定侧的单位法矢量为

\[ \boldsymbol{e}_n(M) = \cos \alpha \, \boldsymbol{i} + \cos \beta \, \boldsymbol{j} + \cos \gamma \, \boldsymbol{k}. \]

又设

\[ \boldsymbol{A}(M) = \boldsymbol{A}(x, y, z) = P(x, y, z) \, \boldsymbol{i} + Q(x, y, z) \, \boldsymbol{j} + R(x, y, z) \, \boldsymbol{k}, \quad M(x, y, z) \in S, \]

其中 \(P\)，\(Q\)，\(R\) 是定义在 \(S\) 上的有界函数，则函数

\[ \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{e}_n = P \cos \alpha + Q \cos \beta + R \cos \gamma \]

在 \(S\) 上的第一类曲面积分

\[ \iint_{S} \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{e}_n \, \mathrm{d}S = \iint_{S} \left( P \cos \alpha + Q \cos \beta + R \cos \gamma \right) \mathrm{d}S \]

称为函数 \(\boldsymbol{A}(P) = \boldsymbol{A}(x, y, z)\) 沿定侧曲面 \(S\) 的第二类曲面积分

第二类曲面积分又被称为对坐标曲面积分

第二类曲面积分的四种形式

\(\displaystyle \iint_{S} \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{e}_n \, \mathrm{d}S\)
\(\displaystyle \iint_{S} \boldsymbol{A} \, \mathrm{d}S\)
\(\displaystyle \iint_{S} (P \cos \alpha + Q \cos \beta + R \cos \gamma) \, \mathrm{d}S\)
\(\displaystyle \iint_{S} P(x, y, z) \, \mathrm{d}y \mathrm{d}z + Q(x, y, z) \, \mathrm{d}z \mathrm{d}x + R(x, y, z) \, \mathrm{d}x \mathrm{d}y\)

\[ \begin{aligned} &\iint_{S} P(x, y, z) \, \mathrm{d}y \mathrm{d}z + Q(x, y, z) \, \mathrm{d}z \mathrm{d}x + R(x, y, z) \, \mathrm{d}x \mathrm{d}y \\ =\ &\iint_{S} P(x, y, z) \, \mathrm{d}y \mathrm{d}z + \iint_{S} Q(x, y, z) \, \mathrm{d}z \mathrm{d}x + \iint_{S} R(x, y, z) \, \mathrm{d}x \mathrm{d}y \end{aligned} \]

然后分别计算这 3 项：

\(\displaystyle \iint_{S} P(x, y, z) \, \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \operatorname{sgn}\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) \iint_{\sigma_{yz}} P(x(y, z), y, z) \, \mathrm{d}\sigma\)
\(\displaystyle \iint_{S} Q(x, y, z) \, \mathrm{d}z \mathrm{d}x = \operatorname{sgn}\left( \frac{\pi}{2} - \beta \right) \iint_{\sigma_{zx}} Q(x, y(x, z), z) \, \mathrm{d}\sigma\)
\(\displaystyle \iint_{S} R(x, y, z) \, \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \operatorname{sgn}\left( \frac{\pi}{2} - \gamma \right) \iint_{\sigma_{xy}} R(x, y, z(x, y)) \, \mathrm{d}\sigma\)

例题

wfxs

注意：上下两片曲面的 \(sgn(\frac{\pi}{2}-\gamma)\) 是不同的，与第一类曲面积分有区别

高斯公式 ¶

高斯公式

设空间区域 \(V\) 由分片光滑的双侧封闭曲面 \(S\) 构成，若函数 \(P\)，\(Q\)，\(R\) 在 \(V\) 上连续，且有一阶连续偏导数，则

\[ \iiint_{V} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = ∯_{S} P \, \mathrm{d}y \mathrm{d}z + Q \, \mathrm{d}z \mathrm{d}x + R \, \mathrm{d}x \mathrm{d}y \]

其中 \(S\) 取外侧

散度场 ¶

散度

设 \(\boldsymbol{A}(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))\) 为空间区域 \(V\) 上的向量函数，对 \(V\) 上的每一点 \((x, y, z)\)，称函数 \(\dfrac{\partial P}{\partial x} + \dfrac{\partial Q}{\partial y} + \dfrac{\partial R}{\partial z}\) 为向量函数 \(\boldsymbol{A}\) 在点 \(M(x, y, z)\) 处的散度，记作 \(\operatorname{div} \boldsymbol{A}(x, y, z)\)

则高斯公式可以改写为：

\[\displaystyle \iiint_{V} \operatorname{div} \boldsymbol{A} \, \mathrm{d}V = \oiint_{S} \boldsymbol{A} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}\]

令 \(V\) 收缩到点 \(M_0\)，得到：

\[\displaystyle \operatorname{div} \boldsymbol{A}(M_0) = \lim_{V \to M_0} \frac{\oiint_{S} \boldsymbol{A} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}}{\Delta V}\]

散度场

向量场 \(\boldsymbol{A}\) 的散度 \(\operatorname{div} \boldsymbol{A}\) 所构成的数量场

物理意义

假设某一不可压缩流体的流速为向量函数 \(\boldsymbol{A}\)，经过封闭曲面 \(S\) 的流量是 \(\displaystyle \oiint_{S} \boldsymbol{A} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}\)，则 \(\operatorname{div} \boldsymbol{A}\) 表示流量对体积的变化率，称它为 \(\boldsymbol{A}\) 在点 \(M_0\) 的流量密度

\(\operatorname{div} \boldsymbol{A}(M_0) > 0\)：每一单位时间内有一定数量的流体流出这一点 \(\Rightarrow\) 源
\(\operatorname{div} \boldsymbol{A}(M_0) < 0\)：每一单位时间内有一定数量的流体被这一点吸收 \(\Rightarrow\) 汇
若对每一点皆有 \(\operatorname{div} \boldsymbol{A} = 0\)，称 \(\boldsymbol{A}\) 为 无源场

推论

若在封闭曲面 \(S\) 所包围的区域 \(V\) 中处处有 \(\operatorname{div} \boldsymbol{A} = 0\)，则 \(\displaystyle \oiint_{S} \boldsymbol{A} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = 0\)
如果仅在区域 \(V\) 中某些点（或子区域上）\(\operatorname{div} \boldsymbol{A} \neq 0\) 或 \(\operatorname{div} \boldsymbol{A}\) 不存在（下图阴影部分），其他点都有 \(\operatorname{div} \boldsymbol{A} = 0\)，则通过包围这些点或子区域（被称为“洞”）的 \(V\) 内任一封闭曲面积分都是相等的，即是一个常数，有：

\[ \oiint_{S_1} \boldsymbol{A} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = \oiint_{S_2} \boldsymbol{A} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} \]

其中 \(S_1, S_2\) 是包围散度不等于 \(0\)，或不存在的点（或区域）的任意两个封闭曲面，其法线单位矢量向外

斯托克斯公式、空间曲线积分与路径无关性 ¶

斯托克斯公式 ¶

设光滑曲面 \(S\) 的边界 \(L\) 是按段光滑的连续曲线，若函数 \(P\)，\(Q\)，\(R\) 在 \(S\)（连同 \(L\)）上连续，且有一阶连续偏导数，则：

\[ \begin{aligned} &\iint_{S} \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) \mathrm{d}y \mathrm{d}z + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) \mathrm{d}z \mathrm{d}x + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}x \mathrm{d}y \\ =\ &\oint_{L} P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y + R \, \mathrm{d}z \end{aligned} \]

其中 \(S\) 的侧面与 \(L\) 的方向按右手法则确定

斯托克斯公式的行列式表示法：

\[ \iint_{S} \begin{vmatrix} \mathrm{d}y \mathrm{d}z & \mathrm{d}z \mathrm{d}x & \mathrm{d}x \mathrm{d}y \\[1ex] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\[2ex] P & Q & R \end{vmatrix} = \iint_{S} \begin{vmatrix} \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\[1ex] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\[2ex] P & Q & R \end{vmatrix} \mathrm{d}S = \oint_{L} P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y + R \, \mathrm{d}z \]

空间曲线积分与路径无关性 ¶

设 \(\Omega \subset \mathbf{R}^3\) 为空间线单连通区域，若函数 \(P\)，\(Q\)，\(R\) 在 \(\Omega\) 上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的：

对于 \(\Omega\) 内任一按段光滑的封闭曲线 \(L\)，有 \(\displaystyle \oint_{L} P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y + R \, \mathrm{d}z = 0\)
对于 \(\Omega\) 内任一按段光滑的曲线 \(\Gamma\)，曲线积分 \(\displaystyle \int_{L} P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y + R \, \mathrm{d}z\) 与路径无关，仅与起点、终点有关
\(P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y + R \, \mathrm{d}z\) 是 \(\Omega\) 内某一函数 \(u(x, y, z)\) 的全微分，即存在 \(\Omega\) 上的函数 \(u(x, y, z)\)，使

\[ \mathrm{d}u = P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y + R \, \mathrm{d}z \]

\(\dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x}\)，\(\dfrac{\partial Q}{\partial z} = \dfrac{\partial R}{\partial y}\)，\(\dfrac{\partial R}{\partial x} = \dfrac{\partial P}{\partial z}\) 在 \(\Omega\) 内处处成立

旋度场 ¶

旋度

设 \(\boldsymbol{A}(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))\) 为空间区域 \(V\) 上的向量函数，对 \(V\) 上一点 \(M(x, y, z)\)，定义向量函数 \(\left( \dfrac{\partial R}{\partial y} - \dfrac{\partial Q}{\partial z}, \dfrac{\partial P}{\partial z} - \dfrac{\partial R}{\partial x}, \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right)\)，称它为向量函数 \(\boldsymbol{A}\) 在点 \(M(x, y, z)\) 处的旋度，记作 \(\operatorname{\mathbf{rot}} \boldsymbol{A}\)

行列式表示法：

\[ \operatorname{\mathbf{rot}} \boldsymbol{A} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\[1ex] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\[2ex] P & Q & R \end{vmatrix} \]

设 \(\boldsymbol{e}_\tau\) 是曲线 \(L\) 在点 \(M(x, y, z)\) 处于指定的方向一致的单位切向量，向量 \(\mathrm{d}\boldsymbol{s} = \boldsymbol{e}_\tau \, \mathrm{d}s\) 被称为弧长元素向量

\(\therefore\) 斯托克斯公式的第 3 种表示法：

\[ \iint_{S} \operatorname{\mathbf{rot}} \boldsymbol{A} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = \oint_{L} \boldsymbol{A} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s} \]

向量微分算子 ¶

向量微分算子

又称 Nabla 算子或哈密顿算子

\[\nabla = \dfrac{\partial}{\partial x} \boldsymbol{i} + \dfrac{\partial}{\partial y} \boldsymbol{j} + \dfrac{\partial}{\partial z} \boldsymbol{k}\]

二阶微分算子：\(\nabla^2 = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2}\)

可以用向量微分算子改写上面的式子：

高斯公式：\(\displaystyle \iiint_{V} \nabla \cdot \boldsymbol{A} \, \mathrm{d}V = \oiint_{S} \boldsymbol{A} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}\)
斯托克斯公式：\(\displaystyle \iint_{S} (\nabla \times \boldsymbol{A}) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = \oint_{S} \boldsymbol{A} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}\)

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