Chap4 随机变量的数字特征 ¶
数学期望 ¶
\[
E(X)=\sum_{i=1}^{+\infty}x_ip_i=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx
\]
泊松分布：\(E(X)=\lambda\) 指数分布：\(E(X)=\frac{1}{\lambda}\) 标准正态分布：\(E(X)=0\)
方差、变异系数 ¶
\[
Var(X)=\sum_{i=1}^{+\infty}(X_i-E(X))^2p_i=\int_{-\infty}^{+\infty}(x-E(X))^2f(x)dx
\]
\[
Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2
\]
泊松分布：\(Var(X)=\lambda\) 指数分布：\(Var(X)=\frac{1}{\lambda^2}\) 标准正态分布：\(Var(X)=1\) 二项分布：\(Var(X)=np(1-p)\) 正态分布：\(Var(X)=\sigma^2\) 均匀分布：\(Var(X)=\frac{(b-a)^2}{12}\)
协方差与相关系数 ¶
协方差
\[
\begin{aligned}
&Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))] \\
&=E(XY)-E(X)E(Y)
\end{aligned}
\]
满足以下性质：
\[Var(\sum_{i=1}^{n}X_i)=\sum_{i=1}^{n} Var(X_i)+2\sum_{1\le i< j \le n}Cov(X_i,X_j)\]
\(Cov(X,Y)=Cov(Y,X)\) \(Cov(X,X)=Var(X)\) \(Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)\) \(Cov(X_1+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(X_2,Y)\)
相关系数
\[
\rho_{XY} =\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)}\sqrt{Var(Y)}}
\]
不相关
\(\rho_{XY}=0\) \(Cov(X,Y)=0\) \(E(XY)=E(X)E(Y)\) \(Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)\)
Note
独立可以推出不相关，不相关无法推出独立，因为相关是“线性相关性”。
其他数字特征 ¶
矩
k 阶（原点）矩
\[
\mu_k=E(X^k)
\]
k 阶中心矩
\[
v_k=E[(X-E(X))^k]
\]
k+l 阶混合（原点）矩
\[
E(X^kY^l)
\]
k+l 阶混合中心矩
\[
E[(X-E(X))^k(Y-E(Y))^l]
\]
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