Chap9 多元函数积分学
二重积分
\[\iint_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\int_{\alpha}^\beta \mathrm{d}\theta\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\mathrm{d}\theta\]
三重积分
直角坐标系的计算
柱面坐标系的计算
\[
\begin{aligned}
\iiint_{V} f(x, y, z) \, \mathrm{d}V &= \iiint_{V} f(r\cos\theta, r\sin\theta, z) \, r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}z \\
&= \iint_{\sigma_{xy}} r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta \int_{z_1(r, \theta)}^{z_2(r, \theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta, z) \, \mathrm{d}z
\end{aligned}
\]
球面坐标系的计算
\[
\begin{cases}
x = \rho \sin \varphi \cos \theta \\
y = \rho \sin \varphi \sin \theta \\
z = \rho \cos \varphi
\end{cases}
\]
从而：
\[
\begin{aligned}
\iiint_{V} f(x, y, z) \, \mathrm{d}V &= \iiint_{V} f(\rho \sin \varphi \cos \theta, \rho \sin \varphi \sin \theta, \rho \cos \varphi) \, \rho^2 \sin \varphi \, \mathrm{d}\rho \, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}\theta \\
&= \int_{\alpha}^{\beta} \mathrm{d}\theta \int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)} \sin \varphi \, \mathrm{d}\varphi \int_{\rho_1(\theta, \varphi)}^{\rho_2(\theta, \varphi)} \rho^2 f(\rho \sin \varphi \cos \theta, \rho \sin \varphi \sin \theta, \rho \cos \varphi) \, \mathrm{d}\rho
\end{aligned}
\]
第一类曲线积分和第一类曲面积分
第一类曲线积分
第一类曲线积分
设函数 \(f(P)\) 是定义在以 \(A\)，\(B\) 为端点的光滑曲线 \(\Gamma\) 上的有界函数，在 \(\Gamma\) 上任意取点：\(A = M_0, M_1, M_2, \cdots, M_n = B\)，将曲线分成 \(n\) 个部分。记弧 \(\widehat{M_{i-1}M_i}\) 的长度为 \(\Delta s_i\)，并在 \(\widehat{M_{i-1}M_i}\) 任取一点 \(P_i(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\)，作和 \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f(P_i) \Delta s_i\)。记 \(\lambda = \max\{\Delta s_i : 1 \leqslant i \leqslant n\}\)。称下列极限值为 \(f(P)\) 沿 \(\Gamma\) 的第一类曲线积分（若存在）：
\[
\int_{\Gamma} f(P) \, \mathrm{d}s = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(P_i) \Delta s_i
\]
第一类曲线积分又被称为对弧长曲线积分
若 \(\Gamma: \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}\)，\(\alpha \leqslant t \leqslant \beta\)，则：
\[
\int_{\Gamma} f(P) \, \mathrm{d}s = \int_{\alpha}^{\beta} f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t) + z'^2(t)} \, \mathrm{d}t
\]
若 \(\Gamma: y = \varphi(x)\)，\(x \in [a, b]\)，则
\[
\int_{\Gamma} f(x, y) \, \mathrm{d}s = \int_{a}^{b} f(x, \varphi(x)) \sqrt{1 + \varphi'^2(x)} \, \mathrm{d}x
\]
若 \(\Gamma: r = r(\theta)\)，\(\theta \in [\alpha, \beta]\)，则
\[
\int_{\Gamma} f(x, y) \, \mathrm{d}s = \int_{\alpha}^{\beta} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \sqrt{r^2(\theta) + r'^2(\theta)} \, \mathrm{d}\theta
\]
第一类曲面积分
第一类曲面积分
设函数 \(f(x, y, z)\) 是定义在有界光滑曲面 \(S\) 上的有界函数，用曲线网将 \(S\) 分成任意 \(n\) 部分：\(\Delta S_1, \Delta S_2, \cdots, \Delta S_n\)，仍用 \(\Delta S_i\) 记 \(\Delta S_i\) 的面积，并在 \(\Delta S_i\) 上任取点 \(P_i(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\)，作和 \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f(P_i) \Delta S_i\)。记 \(\lambda\) 为 \(\Delta S_i\) 直径最大者。称下列极限值为 \(f(P)\) 沿 \(S\) 的第一类曲面积分（若存在）：
\[
\iint_{S} f(P) \, \mathrm{d}S = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(P_i) \Delta S_i
\]
第一类曲面积分又被称为对面积曲面积分
若 \(S: z = z(x, y)\)，\((x, y) \in \sigma_{xy}\)（\(\sigma_{xy}\) 是 \(S\) 在 \(0xy\) 平面上的投影），则：
\[
\iint_{S} f(x, y, z) = \iint_{\sigma_{xy}} f(x, y, z(x, y)) \sqrt{1 + z_x'^2 + z_y'^2} \, \mathrm{d}\sigma
\]
点函数积分的概念、性质及应用
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