Chap1 初等积分法 ¶
基本概念 ¶
微分方程中，出现的未知函数是单个自变量的函数，称为常微分方程；出现的函数是两个及以上的函数，称为偏微分方程
在微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶
一阶微分方程的一般形式是
\[F(x,y,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})=0\]
可分离变量方程 · 齐次方程 ¶
可分离变量方程 ¶
对于一阶微分方程的特殊形式
\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi(x)\psi(y)\]
称为可分离变量的微分方程
其求解步骤为：
1. 将变量 \(x\) 和 \(y\)（以及 \(\mathrm{d}x\) 和 \(\mathrm{d}y\)）分离于等号两边，得
\[\frac{\mathrm{d}y}{\psi(y)}=\varphi(x)\mathrm{d}x\]
2. 将两边分别对 \(x\) 和 \(y\) 积分，得
\[\int \frac{\mathrm{d}y}{\psi(y)}=\int \varphi(x)\mathrm{d}x+c\]
齐次方程 ¶
对于形如
\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=g(\frac{y}{x})\]
的微分方程，称为零齐次微分方程，简称齐次方程
其求解思路为使用变量代换将其化为可分离变量得方程，步骤为：
1. 作变量代换
\[u=\frac{y}{x}\]
即有
\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+u\]
2. 代入原方程，整理后有
\[\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{g(u)-u}{x}\]
一阶线性微分方程 · 伯努利方程 ¶
一阶线性微分方程 ¶
一阶线性微分方程的一般形式是
\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+p(x)y=f(x)\]
当 \(f(x)\equiv0\) 时，方程
\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+p(x)y=0\]
称为一阶齐次线性方程
使用分离变量法，求齐次线性方程的通解
\[\frac{\mathrm{d}y}{y}=-p(x)\mathrm{d}x\]
\[\ln|y|=-\int p(x)\mathrm{d}x+\ln |c|\]
\[y=ce^{-\int p(x)\mathrm{d}x}\]
使用常数变易法，求非齐次线性方程的通解
假设非齐次线性方程的通解具有如下形式
\[y=u(x)e^{-\int p(x)\mathrm{d}x}\]
代入原方程，可得
\[u^{\prime}(x)e^{-\int p(x)\mathrm{d}x}= f(x)\]
可得
\[u(x)=\int f(x)e^{\int p(x)}\mathrm{d}x+c\]
即有通解为
\[y=e^{-\int p(x)\mathrm{d}x}(\int f(x)e^{\int p(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+c)\]
伯努利方程 ¶
对于形如
\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+p(x)y=f(x)y^n,\quad n\ne0,1\]
的方程，称为伯努利方程
其求解步骤为：
1. 以 \(y^n\) 去除式的两边可得
\[y^{-n}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+p(x)y^{1-n}=f(x)\]
2. 作变量代换
\[z=y^{1-n}\]
则有
\[\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=(1-n)y^{-n}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\]
即有
\[\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}+(1-n)p(x)z=(1-n)f(x)\]
全微分方程 ¶
对于形如
\[M(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)\mathrm{d}y=0\]
若式的左边恰为某一二元函数 \(u=u(x,y)\) 的全微分，即
\[M(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)\mathrm{d}y=\mathrm{d}u(x,y)\]
则称其为全微分方程；\(u(x,y)\) 称为其的一个原函数
全微分方程判别定理
设函数 \(M(x,y)\) 和 \(N(x,y)\) 在单连通区域 \(G\) 内连续且有连续的一阶偏导数，则式为全微分方程的充要条件是
\[\frac{\partial M}{\partial y}\equiv\frac{\partial N}{\partial x},(x,y)\in G\]
求原函数的方法
方法 1：由路径无关的曲线积分求
\[u(x,y)=\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}M(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)\mathrm{d}y\]
方法 2：由不定积分求
\[u(x,y)=\int M(x,y)\mathrm{d}x+\varphi(y)\]
\[\varphi^\prime(y)=N(x,y)-\frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y)\mathrm{d}x\]
方法 3：凑微分
可降阶的二阶微分方程 ¶
微分方程的应用 ¶
评论区
如果有什么问题或想法，欢迎大家在下方留言~