Chap8 多元函数微分学 ¶

多元函数的极限与连续性 ¶

偏导数与全微分 ¶

偏导数 ¶

偏导数

设函数 \(z=f(x,y)\) 在点 \(P_0(x_0,y_0)\) 的某邻域内有定义，

若极限

\[\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta_x z}{\Delta z}=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow x_0}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_))}{x-x_0}\]

存在，则称该极限值为 \(z=f(x,y)\) 在点 \(P_0\) 处关于 \(x\) 的偏导数，记为：

\[f^\prime_x(x_0,y_0)\quad \text{or} \quad \frac{\partial z}{\partial x}|_{\begin{aligned}x=x_0 \\ y=y_0\end{aligned}}\]

全微分 ¶

若二元函数 \(z=f(x,y)\) 在点 \((x,y)\) 处的全增量可以表示为：

\[\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)(\rho=\sqrt{x^2+y^2}\rightarrow 0)\]

其中 \(A\)，\(B\) 与变量 \(x\)，\(y\) 的增量 \(\Delta x\)，\(\Delta y\) 无关，而仅与 \(x\)，\(y\) 有关，则称 \(f(x,y)\) 在点 \((x,y)\) 处可微，其中 \(A\Delta x+B\Delta y\) 被称为 \(f(x,y)\) 在 \((x,y)\) 处的全微分，记作 \(\mathrm{d}z\)

定理：可微的充分条件

函数的所有偏导数在某点处均连续 \(\rightarrow\) 在该点处可微

二元函数全微分可表示为：

\[\mathrm{d}u=\frac{\partial u}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial u}{\partial y}\mathrm{d}y\]

复合函数微分法 ¶

若函数 \(u=\varphi(x,y)\)，\(v=\psi(x,y)\) 在点 \((x,y)\) 处的偏导数都存在，\(z=f(u,v)\) 在点 \((u,v)\) 处可微，则复合函数 \(z=f[\varphi(x,y),\psi(x,y)]\) 在点 \((x,y)\) 处的偏导数都存在：

\[\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}\]

\[\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial y}\]

特别地，若 \(z=f(u,v)\)，\(u=\varphi(x)\)，\(v=\psi(x)\)，则

\[\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}v}\cdot\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\]

隐函数的偏导数 ¶

隐函数存在定理

设 \(F(x,y,z)\) 在点 \(P_0(x_0,y_0,z_0)\) 的某一邻域内有连续的偏导数，且 \(F(x_0,y_0,z_0)=0\)，\(F^\prime_z(x_0,y_0,z_0)\ne0\)，则方程 \(F(x,y,z)=0\) 在 \(P_0(x_0,y_0,z_0)\) 的某一邻域内恒能确定一个连续且具有连续偏导数的函数 \(z=f(x,y)\)，满足 \(z_0=f(x_0,y_0)\)，并有：

\[\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^\prime}{F_z^\prime}, \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F^\prime_y}{F^\prime_z}\]

场的方向导数与梯度 ¶

场的方向导数 ¶

方向导数

设数量场三元函数 \(u\) 在点 \(P_0(x_0, y_0, z_0)\) 的某邻域 \(U(P_0) \subset \mathbf{R}^3\) 内有定义，\(\boldsymbol{l}\) 为从点 \(P_0\) 出发的射线，\(P(x, y, z)\) 为 \(\boldsymbol{l}\) 上且含于 \(U(P_0)\) 内的任一点，以 \(\rho\) 表示两点间距离，若极限

\[ \lim_{\rho \to 0} \frac{u(P) - u(P_0)}{\rho} = \lim_{\rho \to 0} \frac{\Delta_{\boldsymbol{l}} u}{\rho} \]

存在，称此极限为 \(u\) 在点 \(P_0\) 沿方向 \(\boldsymbol{l}\) 的方向导数，记作 \(\left. \dfrac{\partial u}{\partial \boldsymbol{l}} \right|_{P_0}\)

定理

若函数 \(u\) 在点 \(P_0(x_0, y_0, z_0)\) 处可微，则 \(u\) 在点 \(P_0\) 处沿任一方向 \(\boldsymbol{l}\) 的方向导数都存在，且：

\[ \left. \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{l}} \right|_{P_0} = \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right|_{P_0} \cos \alpha + \left. \frac{\partial u}{\partial y} \right|_{P_0} \cos \beta + \left. \frac{\partial u}{\partial z} \right|_{P_0} \cos \gamma \]

其中，方向 \(\boldsymbol{l}\) 上的单位矢量 \(\boldsymbol{e}_l = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)\)

梯度 ¶

梯度

矢量 \(\dfrac{\partial u}{\partial x}\boldsymbol{i} + \dfrac{\partial u}{\partial y}\boldsymbol{j} + \dfrac{\partial u}{\partial z}\boldsymbol{k} = \left( \dfrac{\partial u}{\partial x}, \dfrac{\partial u}{\partial y}, \dfrac{\partial u}{\partial z} \right)\) 被称为函数 \(u(P)\) 在点 \(P\) 处的梯度，即为 \(\mathbf{grad}\ u\)

易知 \(|\mathbf{grad}\ u(P_0)| = \sqrt{\left. \left( \dfrac{\partial u}{\partial x} \right)^2 + \left( \dfrac{\partial u}{\partial y} \right)^2 + \left( \dfrac{\partial u}{\partial z} \right)^2 \right|_{P_0}}\)

\(\therefore \left. \dfrac{\partial u}{\partial \boldsymbol{l}} \right|_{P_0} = |\mathbf{grad}\ u(P_0)| \cos \theta\)，其中 \(\theta\) 是矢量 \(\mathbf{grad}\ u(P_0)\) 与 \(\boldsymbol{l}\) 的夹角

多元函数的极值及应用 ¶

多元函数的泰勒公式 ¶

泰勒定理

若函数 \(f\) 在点 \(P_0(x_0, y_0)\) 的某邻域 \(U(P_0)\) 内有直到 \(n + 1\) 阶的连续偏导数，则对 \(U(P_0)\) 内任一点 \((x_0 + h, y_0 + k)\)，存在 \(\theta \in (0, 1)\)，使得：

\[ \begin{aligned} f(x_0 + h, y_0 + k) = &\ f(x_0, y_0) + \left( h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y} \right) + \\ &\ \frac{1}{2!}\left( h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y} \right)^2 f(x_0, y_0) + \cdots + \\ &\ \frac{1}{n!}\left( h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y} \right)^n f(x_0, y_0) + \\ &\ \frac{1}{(n + 1)!}\left( h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y} \right)^{n+1} f(x_0 + \theta h, y_0 + \theta k) \end{aligned} \]

上式被称为 \(f\) 在点 \(P_0\) 处的 n 阶泰勒公式

其中等式右侧最后一项被称为拉格朗日余项，记作 \(R_n\)

特别地，当 \((x_0, y_0) = (0, 0)\) 时，称上式为麦克劳林公式

二元函数的拉格朗日中值公式：

\[ f(x_0 + h, y_0 + k) - f(x_0, y_0) = h f'_x(x_0 + \theta h, y_0 + \theta k) + k f'_y(x_0 + \theta h, y_0 + \theta k) \]

多元函数的极值 ¶

极值的必要条件

若函数 \(f\) 在点 \(P_0(x_0,y_0)\) 存在偏导数且在点 \(P_0\) 取极值，则有：

\[f^\prime_x(x_0,y_0)=0,f^\prime_y(x_0,y_0)=0\]

此时称 \(P_0\) 为 \(f\) 的稳定点或驻点

极值的充分条件

设函数 \(z=f(x,y)\) 在点 \(P_0(x_0,y_0)\) 某邻域 \(U(P_0)\) 内连续，且有二阶连续偏导数，如果 \(f^\prime_x(x_0,y_0)=0\)，\(f^\prime_y(x_0,y_0)=0\)，设 \(A=f^{\prime\prime}_{xx}(x_0,y_0)\)，\(B=f^{\prime\prime}_{xy}(x_0,y_0)\)，\(C=f^{\prime\prime}_{yy}(x_0,y_0)\)，则：

\(B^2-AC<0\rightarrow f(x_0,y_0)\) 一定是极值，且
- \(A>0\) 或 \(C>0\rightarrow\) 极小值
- \(A<0\) 或 \(C<0\rightarrow\) 极大值
\(B^2-AC>0\rightarrow f(x_0,y_0)\) 不是极值
\(B^2-AC=0\rightarrow\) 无法判断

拉格朗日乘数法

在所给条件 \(G(x,y,z)=0\) 的条件下，求目标函数 \(u=f(x,y,z)\) 的极值

引入拉格朗日函数 \(L(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda G(x,y,z)\)

求极值点，即求下列方程组的解：

\[\left\{\begin{aligned}f^\prime_x+\lambda G^{\prime}_{x}=0 \\ f^\prime_y+\lambda G^\prime_y=0 \\ f^\prime_z+\lambda G^\prime_z=0 \\ G(x,y,z)=0 \end{aligned}\right.\]

更一般的拉格朗日函数：

\[L(x_1,x_2,...,x_n,\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m)\\=f(x_1,x_2,...,x_n)+\sum_{k=1}^m \lambda_k\psi_k(x_1,x_2,...,x_n) \]

其中 \(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m\) 被称为拉格朗日乘数

偏导数在几何上的应用 ¶

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