Chap8 多元函数微分学 ¶

多元函数的极限与连续性 ¶

偏导数与全微分 ¶

偏导数 ¶

设函数 \(z=f(x,y)\) 在点 \(P_0(x_0,y_0)\) 的某邻域内有定义，

若极限

\[\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta_x z}{\Delta z}=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow x_0}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_))}{x-x_0}\]

存在，则称该极限值为 \(z=f(x,y)\) 在点 \(P_0\) 处关于 \(x\) 的偏导数，记为：

\[f^\prime_x(x_0,y_0)\quad \text{or} \quad \frac{\partial z}{\partial x}|_{\begin{aligned}x=x_0 \\ y=y_0\end{aligned}}\]

全微分 ¶

若二元函数 \(z=f(x,y)\) 在点 \((x,y)\) 处的全增量可以表示为：

\[\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)(\rho=\sqrt{x^2+y^2}\rightarrow 0)\]

其中 \(A\)，\(B\) 与变量 \(x\)，\(y\) 的增量 \(\Delta x\)，\(\Delta y\) 无关，而仅与 \(x\)，\(y\) 有关，则称 \(f(x,y)\) 在点 \((x,y)\) 处可微，其中 \(A\Delta x+B\Delta y\) 被称为 \(f(x,y)\) 在 \((x,y)\) 处的全微分，记作 \(\mathrm{d}z\)

定理：可微的充分条件

函数的所有偏导数在某点处均连续 \(\rightarrow\) 在该点处可微

二元函数全微分可表示为：

\[\mathrm{d}u=\frac{\partial u}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial u}{\partial y}\mathrm{d}y\]

复合函数微分法 ¶

若函数 \(u=\varphi(x,y)\)，\(v=\psi(x,y)\) 在点 \((x,y)\) 处的偏导数都存在，\(z=f(u,v)\) 在点 \((u,v)\) 处可微，则复合函数 \(z=f[\varphi(x,y),\psi(x,y)]\) 在点 \((x,y)\) 处的偏导数都存在：

\[\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}\]

\[\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial y}\]

特别地，若 \(z=f(u,v)\)，\(u=\varphi(x)\)，\(v=\psi(x)\)，则

\[\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}v}\cdot\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\]

隐函数的偏导数 ¶

场的方向导数与梯度 ¶

多元函数的极值及应用 ¶

极值的充分条件

设函数 \(z=f(x,y)\) 在点 \(P_0(x_0,y_0)\) 某邻域 \(U(P_0)\) 内连续，且有二阶连续偏导数，如果 \(f^\prime_x(x_0,y_0)=0\)，\(f^\prime_y(x_0,y_0)=0\)，设 \(A=f^{\prime\prime}_{xx}(x_0,y_0)\)，\(B=f^{\prime\prime}_{xy}(x_0,y_0)\)，\(C=f^{\prime\prime}_{yy}(x_0,y_0)\)，则：

\(B^2-AC<0\rightarrow f(x_0,y_0)\) 一定是极值，且
- \(A>0\) 或 \(C>0\rightarrow\) 极小值
- \(A<0\) 或 \(C<0\rightarrow\) 极大值
\(B^2-AC>0\rightarrow f(x_0,y_0)\) 不是极值
\(B^2-AC=0\rightarrow\) 无法判断

拉格朗日乘数法

在所给条件 \(G(x,y,z)=0\) 的条件下，求目标函数 \(u=f(x,y,z)\) 的极值

引入拉格朗日函数 \(L(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda G(x,y,z)\)

求极值点，即求下列方程组的解：

\[\left\{\begin{aligned}f^\prime_x+\lambda G^{\prime}_{x}=0 \\ f^\prime_y+\lambda G^\prime_y=0 \\ f^\prime_z+\lambda G^\prime_z=0 \\ G(x,y,z)=0 \end{aligned}\right.\]

更一般的拉格朗日函数：

\[L(x_1,x_2,...,x_n,\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m)\\=f(x_1,x_2,...,x_n)+\sum_{k=1}^m \lambda_k\psi_k(x_1,x_2,...,x_n) \]

其中 \(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m\) 被称为拉格朗日乘数

偏导数在几何上的应用 ¶

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