Chap8 多元函数微分学 ¶
多元函数的极限与连续性 ¶
偏导数与全微分 ¶
偏导数 ¶
设函数 \(z=f(x,y)\) 在点 \(P_0(x_0,y_0)\) 的某邻域内有定义，
若极限
\[\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta_x z}{\Delta z}=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow x_0}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_))}{x-x_0}\]
存在，则称该极限值为 \(z=f(x,y)\) 在点 \(P_0\) 处关于 \(x\) 的偏导数，记为：
\[f^\prime_x(x_0,y_0)\quad \text{or} \quad \frac{\partial z}{\partial x}|_{\begin{aligned}x=x_0 \\ y=y_0\end{aligned}}\]
全微分 ¶
若二元函数 \(z=f(x,y)\) 在点 \((x,y)\) 处的全增量可以表示为：
\[\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)(\rho=\sqrt{x^2+y^2}\rightarrow 0)\]
其中 \(A\)，\(B\) 与变量 \(x\)，\(y\) 的增量 \(\Delta x\)，\(\Delta y\) 无关，而仅与 \(x\)，\(y\) 有关，则称 \(f(x,y)\) 在点 \((x,y)\) 处可微，其中 \(A\Delta x+B\Delta y\) 被称为 \(f(x,y)\) 在 \((x,y)\) 处的全微分，记作 \(\mathrm{d}z\)
定理：可微的充分条件
函数的所有偏导数在某点处均连续 \(\rightarrow\) 在该点处可微
复合函数微分法 ¶
隐函数的偏导数 ¶
场的方向导数与梯度 ¶
多元函数的极值及应用 ¶
偏导数在几何上的应用 ¶
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