Chap13 能量法 ¶
概述 ¶
由功能原理可知，弹性固体的应变能 \(V_{\varepsilon}\) 在数值上等于外力所作的功 \(W\)
\[V_{\varepsilon}=W=\frac{1}{2}F\delta\]
杆件应变能的计算 ¶
轴向拉伸或压缩 ¶
\[V_\varepsilon=W=\frac{1}{2}F\Delta l\]
整个杆件的应变能
\[V_{\varepsilon}=\int_l \frac{F_N^2(x)\mathrm{d}x}{2EA}\]
单位体积的应变能即应变能密度为
\[v_\varepsilon=\frac{\sigma^2}{2E}=\frac{1}{2}\sigma \varepsilon\]
纯剪切 ¶
\[\varepsilon=\frac{\tau^2}{2G}=\frac{1}{2}\tau \gamma\]
扭转 ¶
\[V_\epsilon=\int_l \frac{T^2(x)\mathrm{d}x}{2GI_p}\]
弯曲 ¶
\[V_\varepsilon=\int_l \frac{M^2(x)\mathrm{d}x}{2EI}\]
应变能的普遍表达式 ¶
克拉贝伊隆原理：线弹性体的应变能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和
互等定理 ¶
第一组力在第二组力引起位移上所做的功，等于第二组力在第一组力引起位移上所做的功
卡氏定理 ¶
卡氏第二定理
应变能对任一载荷的偏导数，等于载荷作用点沿 \(F_i\) 方向的位移 \(\delta_i\)
轴向拉压 ¶
\[\delta_i =\frac{}{}=\int\]
虚功原理 ¶
在虚位移中，外力所作虚功等于内力在相应虚变形上所作虚功
单位载荷法 莫尔积分 ¶
设在外力作用下，刚架 \(A\) 点沿某一任意方向 \(aa\) 的位移为 \(\Delta\)。为了计算 \(\Delta\)，设想在同一刚架的 \(A\) 点上，沿 \(aa\) 方向作用一单位力，它与支座约束力组成平衡力系。这时刚架横截面上的轴力、弯矩和剪力分别为 \(\overline{F}_N(x)\)，\(\overline{M}(x)\) 和 \(\overline{F}_s(x)\)。把刚架在原有外力作用下的位移作为虚位移，加于单位力作用下的刚架上
表达虚功原理的式化为
\[
1 \cdot \Delta = \int \overline{F}_N(x) \, \mathrm{d}(\Delta l) + \int \overline{M}(x) \, \mathrm{d}\theta + \int \overline{F}_s(x) \, \mathrm{d}\lambda
\]
莫尔积分
\[\Delta=\int_l \frac{M(x)\bar{M}(x)\mathrm{d}x}{EI}\]
\[\Delta = \sum_{i=1}^{n} \frac{F_{Ni}\bar{F}_{Ni}l_i}{EA_i}\]
\[\Delta=\int_l \frac{T(x)\bar{T}(x)\mathrm{d}x}{GI_p}\]
计算莫尔积分的图乘法 ¶
\[\Delta=\int_l \frac{M(x)\bar{M}(x)\mathrm{d}x}{EI}=\frac{\omega \bar{M_c}}{EI}\]
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