Chap2 随机变量及其概率分布 ¶

离散型随机变量 ¶

0-1(p) 分布

若概率分布律为：

\[ P\{x=k\} = p^k(1-p)^k, \quad k=0,1 \]

其中 $0<p<1$，称 $X$ 服从参数 $p$ 的 0-1 分布，也称为两点分布，记为 $X \sim 0-1(p)$

0-1 分布就是 $n=1$ 的二项分布

二项分布

若概率分布律为：

\[ P\{X=k \}=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}, k=0,1,2...n \]

其中 $0<p<1,n\geq1$，称 $X$ 服从参数 $(n,p)$ 的二项分布，记为 $X \sim B(n,p)$

泊松分布

若概率分布律为：

\[ P\{X=k\}= \frac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}, \quad k=0,1,2... \]

其中 $\lambda>0$，称 $X$ 服从参数 $\lambda$ 的泊松分布，记为 $X \sim P(\lambda)$

泊松定理

当 $n$ 充分大，$p$ 足够小时，参数为 $(n,p)$ 的二项分布也可以用泊松分布近似描述，即：

\[ C _n^k p^k (1-p)^{n-k} \approx \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \]

其中 $\lambda = np$

超几何分布

\[ P\{ X=k\} = \frac{C_a^k C_b^{n-k}}{C_N^n}, \quad k=l_1,l_1+1,...l_2 \]

其中 $l_1 = \max(0,n-b), l_2=\min (a,n)$

记为 $H(n,a,N)$

几何分布

\[ P\{ X=k\}=p(1-p)^{k-1} \]

随机变量的概率分布函数 ¶

概率分布函数

设 $X$ 为一随机变量，$x$ 为任意实数，函数

\[ F(x)=P\{X \le x\} \]

称为随机变量 $X$ 的概率分布函数，简称分布函数

分布函数的性质

$F(x)$ 单调不减
$0\le F(x) \le 1$，且有 $\lim_{a\rightarrow -\infty}F(a)=0,\lim_{b\rightarrow +\infty}F(b)=1$，简记为 $F(-\infty)=0,F(+\infty)=1$
$F(x+0)=F(x)$, 即 $F(x)$ 是右连续函数

连续性随机变量 ¶

概率密度函数

对于随机变量 $X$，其分布函数为 $F(x)$，若存在一个非负的实值函数 $f(x)$，使得对任意实数 $x$，有：

\[ F(x)=\int_{- \infty}^x f(t)\mathrm{d}t \]

则称 $X$ 为连续性随机变量，称 $f(x)$ 为 $X$ 的概率密度函数，简称密度函数

密度函数的性质

$f(x)\ge 0$，$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=1$
$P\{x_1 < X \le x_2\}= F(x_2) -F(x_1)=\int_{x_1}^{x_2} f(t)\mathrm{d}t$
在连续点 $x$ 处，$F^{\prime}(x)=f(x)$

均匀分布

设随机变量 $X$ 具有如下密度函数： $$ f(x)=\left{ \begin{aligned} \frac{1}{b-a}, x \in (a,b) \ 0, \text{other cases} \end{aligned} \right. $$

称 $X$ 服从区间 $(a,b)$ 上的均匀分布，记为 $X \sim U(a,b)$

正态分布

设随机变量具有密度函数：

\[ f(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-(x-\mu)^2/ (2 \sigma^2)}, \quad |x|< + \infty \]

其中 $-\infty<\mu<+\infty,\sigma>0$，称 $X$ 服从参数为 $(\sigma,\mu)$ 的正态分布，记为 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$

称 $\mu$ 为位置参数，$\sigma$ 为尺度参数

特别地，当 $\mu=0,\sigma=1$ 时，记正态变量为 $Z$，那么 $Z \sim N(0,1)$，称 $Z$ 服从标准正态分布

\[ \varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^2/2}, \quad |x|< + \infty \]

\[ \Phi(x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2}\mathrm{d}t \]

\[ P\{ a<x<b\} = \Phi(\frac{b-\mu}{\sigma}) - \Phi (\frac{a-\mu}{\sigma}) \]

指数分布

设随机变量具有密度函数：

\[ f(x)=\left\{ \begin{aligned} \lambda e^{-\lambda x}, x>0 \\ 0, x<0 \end{aligned} \right. \]

其中 $\lambda>0$，称 $X$ 服从参数 $\lambda$ 的指数分布，记为 $X \sim E(\lambda)$

\[ F(x)=\left\{ \begin{aligned} 1-e^{-\lambda x}, x>0 \\ 0, x\le 0 \end{aligned} \right. \]

$P\{X > t_0 +t\}=P\{X>t_0\}\cdot P\{X > t\}$

随机变量函数的分布 ¶

已知 $Y=g(X)$ 和 $X$ 的密度函数，求 $F_Y(y)$ 和 $f_Y(y)$

求 $\{Y \le y\}$ 的等价事件
求 $F_Y(y)$
求导得 $f_y(y)$

特别地，当 $y=g(x)$ 具有严格单调性时，记 $X$ 的密度函数为 $f_X(x)$，$y=g(x)$ 的反函数为 $x=h(y)$，则 $Y$ 的密度函数为：

\[ f_Y(y) = \left\{ \begin{aligned} f_X(h(y)) \cdot |h^{\prime}(y)|, y\in D \\ 0, y \notin D \end{aligned} \right. \]

其中 $D$ 为函数 $y=g(x)$ 的值域

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