Chap5 大数定律及中心极限定理 ¶
大数定律 ¶
马尔可夫不等式
\[P\{|Y| \ge \varepsilon\} \le \frac{E(|Y|^k)}{\varepsilon^k}
\]
切比雪夫不等式
\[
P\{ |X-\mu| \ge \varepsilon\}\le \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}
\]
\[
P\{|X-E(X)| \ge \varepsilon \} \le \frac{Var(X)}{\varepsilon^2}
\]
伯努利大数定律
\[
\lim_{n \rightarrow +\infty}P\{ |\frac{n_A}{n}-p|\ge \varepsilon\} =0
\]
辛钦大数定律
\[
\lim_{n\rightarrow +\infty}P\{|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}h(X_i)-a|\ge \varepsilon\}=0
\]
中心极限定理 ¶
林德伯格 - 莱维中心极限定理
\[
\lim_{n \rightarrow +\infty}P\{{\frac{\sum_{i=1}^n X_i - E(\sum_{i=1}^n X_i)}{\sqrt{Var(\sum_{i=1}^n X_i)}}\le x}\}=\lim_{n \rightarrow +\infty}P\{\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\le x\}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\Phi(x)
\]
也称为独立同分布的中心极限定理
棣莫弗 - 拉普拉斯中心极限定理
\[
\lim_{n \rightarrow +\infty}P\{\frac{n_A-np}{\sqrt{np(1-p)}} \le x\}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\Phi(x)
\]
李雅普诺夫中心极限定理
\[
\lim_{n\rightarrow +\infty}P\{\frac{1}{B_n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu_i)\le x\}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\Phi(x)
\]
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