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Chap5 定积分及其应用

定积分概念

定积分的性质和基本定理

微积分学基本定理

定积分的计算方法

定积分换元积分法

若函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，作变量代换 \(x=\psi(t)\)，\(\psi(t)\) 满足下列条件：

（1）\(\psi(\alpha)=a\)，\(\psi(\beta)=b\) 且 \(\psi(t)\in[a,b]\)，\(t\in[\alpha,\beta]\)；

（2）在 \([\alpha,\beta]\) 上有连续的导数 \(\psi^\prime(t)\)，

则有定积分换元公式

\[\boxed{\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\int_{\alpha}^\beta f(\psi(t))\psi^\prime(t)\mathrm{d}t}\]

上式从左向右又称为定积分的变量代换法，从右向左又称为定积分的凑微分法

定积分分部积分法

若 \(u=u(x)\)，\(v=v(x)\) 在 \([a,b]\) 上具有连续的导函数，则

\[\boxed{\int_a^b u\mathrm{d}v=uv|_a^b-\int_a^b v\mathrm{d}u}\]

如果 \(f(x)\) 为 \([a,b]\) 上的连续函数，\(\varphi_1(x)、\varphi_2(x)\) 为可导函数，则

\[(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(t)\mathrm{d}t)^\prime=f[\varphi_2(x)\mathrm]\cdot\varphi_2^\prime (x)-f[\varphi_1(x)]\cdot \varphi_1^\prime (x)\]

简化的定积分计算方法

常用公式

\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\mathrm{d}x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^n x\mathrm{d}x=\left\{\begin{aligned}\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot...\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}，n 为正偶数 \\ \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot...\cdot \frac{2}{3},n 为大于 1 的奇数 \end{aligned}\right.\]
\[\int_{0}^\pi xf(\sin x)\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2} f(\sin x)\mathrm{d}x\]

定积分的应用

平面图形的面积

立体及旋转体的体积

曲边扇形的面积

\[S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^\beta r^2(\theta)\mathrm{d}\theta\]

平面曲线的弧长

\[s=\int_{\alpha}^\beta \sqrt{\varphi^{\prime2}(t)+\psi^{\prime2}(t)}\mathrm{d}t\]
\[s=\int_a^b \sqrt{1+f^{\prime2}(x)}\mathrm{d}x\]
\[ s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{x'^2(\theta) + y'^2(\theta)} \, \mathrm{d}\theta = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2(\theta) + r'^2(\theta)} \, \mathrm{d}\theta \]

反常积分

无穷区间上的反常积分

第一类反常积分

设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, +\infty)\) 上连续，于是对于任意 \(t > a\)，积分 \(\displaystyle \int_{a}^{t} f(x) \, \mathrm{d}x\) 存在，它是 \(t\) 的函数，称记号

\[ \int_{a}^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d}x \overset{\text{def}}{=} \lim_{t \to +\infty} \int_{a}^{t} f(x) \, \mathrm{d}x \]

为函数 \(f(x)\) 在无穷区间 \([a, +\infty)\) 上的反常积分（或第一类反常积分）

若式 (5.29) 右端的极限存在，就称反常积分 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d}x\) 收敛，该极限值称为反常积分的值；反之，若此极限不存在，则称反常积分 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d}x\) 发散

无界函数的反常积分

第二类反常积分

设函数 \(f(x)\) 在区间 \((a, b]\) 上连续，\(\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = \infty\)（称点 \(a\) 为瑕点）

于是，任给 \(\varepsilon > 0\) 且 \(\varepsilon < b - a\)，\(\displaystyle \int_{a+\varepsilon}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x\) 均存在，它是 \(\varepsilon\) 的函数，称记号

\[ \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \overset{\text{def}}{=} \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \]

为无界函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上的反常积分（第二类反常积分）

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