Chap5 定积分及其应用 ¶

定积分概念 ¶

定积分换元积分法

若函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，作变量代换 \(x=\psi(t)\)，\(\psi(t)\) 满足下列条件：

（1）\(\psi(\alpha)=a\)，\(\psi(\beta)=b\) 且 \(\psi(t)\in[a,b]\)，\(t\in[\alpha,\beta]\)；

（2）在 \([\alpha,\beta]\) 上有连续的导数 \(\psi^\prime(t)\)，

则有定积分换元公式

\[\boxed{\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\int_{\alpha}^\beta f(\psi(t))\psi^\prime(t)\mathrm{d}t}\]

上式从左向右又称为定积分的变量代换法，从右向左又称为定积分的凑微分法

定积分分部积分法

若 \(u=u(x)\)，\(v=v(x)\) 在 \([a,b]\) 上具有连续的导函数，则

\[\boxed{\int_a^b u\mathrm{d}v=uv|_a^b-\int_a^b v\mathrm{d}u}\]

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